WisFaq!

Differentiëren met een sinx en cosx

Hallo Wisfaq,

Wat is de afgeleide van f(x)=sinxcos²x+2sinx?

g(x)=(4/3)sin³x-sinx
Als ik hiervan de afgeleide pak kom ik op g´(x)=4sin²xcosx-cosx is dat goed?
Maar nu moet ik ook hier weer de afgeleide van berekenen, oftewel de tweede afgeleide van g(x). Kom er alleen niet echt uit.................

Liefs

Fleur
12-4-2004

Antwoord

Hoi Fleur,

Wat je nodig hebt is de productregel:
Zie Vraag 13068: Productregel

De afgeleide die je bij g(x) hebt genomen is goed.
g(x)=⁴/₃×(sinx)³-sinx
g'(x)=⁴/₃×3×(sinx)^3-1×cosx-cosx=4×(sinx)²×cosx-cosx.
g'(x)=4×(sinx)²×cosx-cosx=(4(sinx)²-1)×cosx

Je kan dus de tweede afgeleide maken met
g'(x)=4×sin²x×cosx-cosx
g'(x)=(4(sinx)²-1)×cosx=(-1+4sin²x)×cosx
Het is allebei hetzelfde, alleen anders opgeschreven

De tweede afgeleide gaat op dezelfde werkwijze als de afgeleide.

g'(x)=4×sin²x×cosx-cosx=4×(sinx)²×cosx-cosx
g''(x)=(8×(sinx)^2-1×cosx)×cosx+4×sin²x×(-sinx)-(-sinx)=8×sinx×cos²x-4×sin³x+sinx
Je kan de sinx nog buiten haakjes halen. Dan krijg je
g''(x)=(8×cos²x-4×sin²x+1)×sinx.

Tweede afgeleide met de tweede manier van opschrijven:
g'(x)=(-1+4sin²x)×cosx
g''(x)=(4×2×sinx^2-1×cosx)×cosx+(-1+4sin²x)×(-sinx)
= (8×sinx×cosx×cosx+(-1×-sinx+4sin²x×-sinx=8×sinx×cos²x+sinx-4sin³x
sinx buiten haakjes halen
g''(x)=8×sinx×cos²x+sinx-4sin³x=(8cos²x+1-4sin²x)×sinx=(8cos²x-4sin²x+1)×sinx
Bij beiden komt dezelfde tweede afgeleide eruit, dus het zal wel kloppen

Probeer nu zelf de afgeleide te doen van jouw f(x).

ws
12-4-2004