WisFaq!

Cauchy hoofdwaarde

Ik heb geleerd over de Cauchy hoofdwaarde van een oneigenlijke integraal.
Ik weet hoe ik deze hoofdwaarde moet berekenen, ik weet dat deze hoofdwaarde enkel van nut is als de integraal divergerend is. Maar mijn vraag is nu: Wat ben je met die Cauchy hoofdwaarde?

Bijvoorbeeld is de Cauchy hoofdwaarde van

integraal[0,4] van 1/(x-2)

gelijk aan 0
wat betekent dit dan?

dank je,
wim

wim
7-4-2004

Antwoord

Je krijgt de Cauchy-hoofdwaarde van zo'n integraal door symmetrisch te werken. Voor jouw voorbeeld bereken je voor elke r0 de integralen van 0 tot 2-r en die van 2+r tot 4. Daarna tel je ze bij elkaar op, je krijgt dan een uitdrukking met r er in; neem de limiet voor r naar 0 en dat is het antwoord. In jouw voorbeeld krijg je voor elke r het antwoord 0 en de limiet daarvan is natuurlijk ook nul.
Probeer het nu eens met de integraal van 0 tot 5 van dezelfde functie, dus van 0 tot 2-r, van 2+r tot 5, optellen en limiet nemen.

kphart
22-4-2004