WisFaq!

Vier oplossingen en buigraaklijnen

Hallo wisfaq,
Ik zou graag willen weten hoe ik de volgende opgaven kan oplossen.

1. Voor welke a heeft de vergelijking (x²-2)²=a vier oplossingen?

f(x)=e^(0,5-x²)
2. Voor welke pÎ gaan door het punt (p,0) twee raaklijnen aan f.

Liefs

Amy
2-4-2004

Antwoord

Dag Amy,

1. Je kunt deze vraag op verschillende niveaus beantwoorden.
Laat ik eens beginnen met een aanpak zonder GR.
Je wilt waarden van a weten zodat (x²-2)² = a vier oplossingen heeft. Dan kun je zo al zien, dat a in elk geval positief moet zijn (anders zijn er helemaal geen reële oplossingen).
Je kunt de vergelijking dan voor een deel oplossen met:
x²-2 = Öa
of
x²-2 = -Öa
Deze twee vergelijkingen moeten elk weer twee oplossingen hebben.
Kun je nu de voorwaarde voor a bedenken?

Een andere aanpak is met de GR: je tekent de grafiek van
y = (x²-2)²
en je doorsnijdt deze grafiek met de lijn y=a, dus een horizontale lijn, en je 'kijkt' wanneer daar vier snijpunten verschijnen.

Dan je tweede vraag. Die is ook weer op verschillende manieren te beantwoorden. Met de GR kun je ontdekken dat de grafiek twee buigpunten heeft. In deze buigpunten kun je de buigraaklijnen tekenen, en deze snijden de x-as in punten A en B, vanwaaruit dus maar één raaklijn aan f te tekenen is.
Daartussenin liggen de punten vanwaaruit je geen enkele raaklijn kunt tekenen. Vanuit alle andere punten kun je twee raaklijnen aan de grafiek van f tekenen.
groet,

Anneke
2-4-2004