WisFaq!

Vectorvoorstelling van de snijlijn van 2 vlakken

hallo,

Ik zit met een probleem. Hoe stel ik een vectorvoorstelling van de snijlijn l van de volgende vlakken:

Vlak V: 2x+4y-2z=5
Vlak W: -3x+2y+3z=1

Ik heb hiervan wel een uitwerking gezien dmv wegvegen maar eigenlijk snap ik die niet helemaal staat erg beknopt uitgelegd nu is mijn vraag zou u dit voor mij op een duidelijke manier kunnen uitleggen dat ik het wel ga snappen
Alvast bedankt!

Jelle
1-4-2004

Antwoord

Dag Jelle,

Een rechte is bepaald door twee punten, dus kan je best starten met twee punten te zoeken die op de snijlijn liggen (dus op beide vlakken!)

Probeer eens een punt met x=0. Dus 4y-2z=5 en 2y+3z=1.
Dit kan je eenvoudig oplossen, en dat komt uit op y=17/16 en z=-3/8.

We hebben nu dus het punt (0,17/16,-3/8)

We zoeken nu een tweede punt, bijvoorbeeld met y=0.
Dan krijg je nog de voorwaarden:
2x-2z=5
-3x+3z=1
Probeer je dit op te lossen, dan vind je geen oplossingen, immers: x-z=5/2 volgens de eerste vergelijking
en x-z=-1/3 volgens de tweede.

Niet getreurd, dit betekent alleen dat er geen punten op de snijlijn liggen die y=0 hebben.

Probeer voor het tweede punt eens met z=0...
Dus 2x+4y=5 en -3x+2y=1
Oplossen levert x=3/8 en y=17/16
Dus het punt (3/8,17/16,0)

Nu hebben we de twee punten, gevraagd is een vectorvoorstelling.

Als we de twee punten van elkaar aftrekken, hebben we een vector die gelegen is volgens de rechte (zie je dat?) Die vector vertrekt immers in één punt van de rechte, en komt aan in een tweede punt van de rechte.

Zo een verschilvector wordt gegeven door:
(3/8,17/16,0)-(0,17/16,-3/8)
=(3/8,0,3/8)

Dus als je de rechte via vectoren wil voorstellen: kies eerst een vector die vanuit de oorsprong naar een willekeurig punt van de rechte gaat (vb de vector (3/8,17/16,0)) en tel daarbij een veelvoud van de verschilvector (3/8,0,3/8) en je bent er.

Oplossing: (3/8,17/16,0)+t(3/8,0,3/8)
Je kan ipv (3/8,0,3/8) ook (1,0,1) of eender welk veelvoud daarvan kiezen, dat is dan ook een vector die volgens de rechte ligt, de lengte ervan speelt geen rol.

Alles samen in één vector krijg je dan:
(3/8 + t, 17/16, 0 + t)

Groeten,
Christophe.

Christophe
1-4-2004