WisFaq!

Getallen met precies 7 delers

Hallo,

Een vraag waar ik absoluut niet uitkom is de volgende:

• Geef een karakterisering van alle getallen die precies zeven delers hebben.

Ik moet met gereduceerde restsystemen werken, denk ik. Maar op welke manier is me niet helemaal duidelijk.

Alvast bedankt,

Henri Dokter
30-3-2004

Antwoord

Hallo Henri,

Als n een natuurlijk getal is, dan bestaat voor elke deler m van n, er ook een deler n/m van n. (2 deelt 100, dus 100/2=50 deelt 100 ook) Dus het aantal delers is altijd even, tenzij er voor een deler m van n geldt dat m=n/m.

Dus als een getal een oneven aantal delers heeft (vb 7), dan is het zeker een kwadraat.

Laten we nu eens kijken hoe n kan samengesteld zijn qua priemfactoren:

* n heeft één priemfactor p. Vermits pⁱ juist i+1 delers heeft (nl 1,p,p²,...,pⁱ) voldoen alle getallen van de vorm p⁶ met p priem aan de gestelde voorwaarde dat n 7 delers moet hebben. Ga maar na wat de delers zijn van 64, 729, 15625,...

* n heeft twee priemfactoren, p en q. We weten al dat n een kwadraat moet zijn, dus p² en q² moeten n delen, dus p²q² is een deler van n. Delers van n zijn dus:
1, p, p², q, pq, p²q, q², pq², p²q² en eventueel nog meer delers.

Al deze delers zijn verschillend omdat p en q verschillende priemen zijn. Maar dat zijn dan al zeker 9 delers.

Conclusie: een getal met 7 delers kan nooit twee verschillende priemfactoren hebben, en dus is een volledige karakterisatie van de getallen met 7 delers: p⁶

Groeten,
Christophe.

Christophe
30-3-2004