WisFaq!

Bewijs van een limiet

Hoe bewijs ik dat de limiet van:
(2^n)*1/2*(e^(t/2^n)-e(-t/2^n)) = t ?

Yerry
30-3-2004

Antwoord

Je bedoelt de limiet voor n naar plus oneindig.
Je kan hiervoor de regel van de l'Hôpital gebruiken:
zet de factoren (2^n)*1/2 in de noemer, daar wordt dat:
2^1-n

n=¥ invullen levert dan 0/0, en dus mag je zowel teller als noemer afleiden. Let erop dat je de kettingregel correct toepast. Na één afleiding komt er dan:

(e^{t/2^n}*t*1/(2^n)*ln(1/2)+e^{-t/2^n}*t*1/(2^n)*ln(1/2)) / -ln(2)2^(1-n)

Dit vereenvoudigt tot (gebruik ln(2)=-ln(1/2)):
t/2 * (e^{t/2^n}+e^{-t/2^n})

Dit geeft geen onbepaaldheid meer: als je n=¥ invult kom je uit op t/2*(1+1) = t.

Groeten,
Christophe.

Christophe
30-3-2004