WisFaq!

Aantal ballen te verdelen

Ik heb een opgave die luid als volgt:

Je hebt 5 ballen die je moet verdelen over een aantal bekers op alle mogelijke manieren.

1 beker:
---
|5|
---
1 mogelijkheid

2 cups:
-----
|1|4|
-----
|2|3|
-----
|3|2|
-----
|4|1|
-----
|5|0|
-----
|0|5|
-----
6 mogelijkheden

3 cups:

.....

21 possibilities

Stel een formule op die voor een X aantal bekers berekent wat het aantal mogelijkheden zijn.

Einde opgave

ik heb zelf al een beetje zitten proberen maar ik kom er niet uit, nu is kansberekening ook niet mijn sterkste kant. vandaar dat ik het hier maar even probeer.

volgens mij kan je dit namelijk niet met standaard nCr en nPr oplossen, want daar heb ik al genoeg voorbeelden van gezien maar die lossen dit niet op

de formule moet uiteindelijk in ieder geval tot 500 bekers kunnen berekenen.....WOW!!!

Dennis
29-3-2004

Antwoord

Als je bijvoorbeeld drie bekers hebt en je doet 2 ballen in de eerste, 1 in de tweede en 2 in de derde, kan je dit zo noteren:
oo|o|oo
waarbij o een bal voorstelt en | een tussenschot tussen twee bekers.

Op hoeveel manieren kan je n tussenschotten en m ballen verdelen als je weet dat alle n tussenschotten onderling verwisselbaar zijn, en alle m ballen ook?
^(n+m)!/_n!m!

Echter, als je X bekers hebt heb je slechts X-1 tussenschotten. Dus de formule die jij wil hebben is:
^(X-1+5)!/_(X-1)!5!
= ^(X+4)!/_120*(X-1)!
= (X+4)(X+3)(X+2)(X+1)X/120
Controle: X=1 geeft 1 mogelijkheid
X=2 geeft 6 mogelijkheden
X=3 geeft 7*6*5*4*3/120 = 21 mogelijkheden

Ziet er goed uit, niet?
X=500 geeft 265.661.562.600 mogelijkheden.

Groeten,
Christophe.

Christophe
29-3-2004