WisFaq!

cos(3x) = 4cos³(x)-3cos(x)

Ik vind maar niet het antwoord op
cos(3x)=4cos³(x)-3cos(x)

Joe
26-3-2004

Antwoord

Hoi,
bij het beantwoorden van deze vraag gebruik ik de somformule en de verdubbelingsformule voor de cosinus.
Verder maak ik nog gebruik van: sin²(x)+cos²(x)=1

Somformule:
cos(u+t)=cos(u)×cos(t)-sin(u)×sin(t)

Verdubbelingsformule:
cos(2t)= 2×cos²(t) - 1 = cos²(t) - sin²(t)= 1 - sin²(t)
sin(2t)= 2sin(t)×cos(t)

Deze kan je eigenlijk afleiden uit de somformule (zet voor de 'u' de 't', dan krijg je cos(t+t)).

---

Omdat 3×x = 2×x+x kan je zeggen dat
cos(3×x)= cos(2×x+x)

x = t en u = 2×x = 2×t
cos(2×t+t)=cos(u+t)
cos(u+t)=cos(u)×cos(t)-sin(u)×sin(t)

cos(2×t+t)= cos(u)×cos(t)-sin(u)×sin(t)
= cos(u)×cos(t)-sin(u)×sin(t)
= cos(2x)×cos(x)-sin(2x)×sin(x)
(Voor de 'u' '2x' invullen en voor de 't' de 'x' invulen)

Nu moet je alleen nog de '2x' wegwerken
cos(2x)= 2×cos²(x) - 1 = cos²(x) - sin²(x)= 1 - sin²(x)
sin(2x)= 2sin(x)×cos(x)

cos(2x)×cos(x)-sin(2x)×sin(x)=
((2×cos²(x) - 1)×cos(x))-((2sin(x)×cos(x))×sin(x))

(2cos²(x)-1) ×cos(x)=2cos³(x)-cos(x)

(2sin(x)×cos(x))×sin(x)=2sin²(x)×cos(x)=(2(1-cos²(x)))×cos(x)
=(2-2cos²x)×cos(x)=2cosx-2cos³x

cos(2x)×cos(x)-sin(2x)×sin(x)=((2×cos²(x) - 1)×cos(x))-((2sin(x)×cos(x))×sin(x))
=(2cos³(x)-cos(x))-(2cosx-2cos²x)=2cos³(x)-cos(x)-2cos(x)- -2cos³(x)
=2cos³(x)-cos(x)-2cos(x)+2cos³(x)
= 4cos³(x)-3cos(x)

Zie ook: Vraag 22416: sin(3x)=sin(x)×(4cos²x-1)

ws
27-3-2004