WisFaq!

Correlatiecoefficient

Hoi,

De correlatiecoffiecient is gegeven door
cov(x, y) = E[ (x- E(x))(y - E(y)) ]

Waar maak ik hier de fout?
E[ (x- E(x))(y - E(y)) ]
= E( xy - yE(x) - xE(y) + E(x)E(y) )
= E(xy) - E(x)E(y) - E(x)E(y) + E(x)E(y)
= E(x)E(y) - E(x)E(y) - E(x)E(y) + E(x)E(y)
= 0
cov(x, y) = 0

met vriendelijk groeten,
Sjoerd

Sjoerd
26-3-2004

Antwoord

Hallo Sjoerd,

Je maakt de fout bij het derde gelijkteken. Je beweert daar dat E(xy) = E(x)E(y). Dat is echter alleen het geval bij ongecorreleerde stochasten (haha, zul je zeggen, dat is dan de definitie van ongecorreleerd). Er is een stelling die je zegt dat als x en y onafhankelijk zijn, dan geldt E(xy)=E(x)E(y). Om te laten zien dat het niet altijd waar hoeft te zijn zal ik een voorbeeld geven:

Zij x een stochast met verwachtingswaarde E(x)=0, maar de stochast is niet echt nul. Bijvoorbeeld gooien met een zuivere munt en bij kop (kans 1/2) krijg je een euro (x=+1), bij munt (kans 1/2) moet je een euro betalen (x=-1).
En neem y=x. Dan is E(xy)=E(x²) altijd positief (in het voorbeeld E(x²)=E(1)=1), maar E(x)E(y)=0·0=0. Dus E(xy) is niet gelijk aan E(x)E(y), met als reden dat x en y duidelijk NIET onafhankelijk zijn.
Overtuigd?

Guido Terra

gt
26-3-2004