WisFaq!

Gelijkzijdige driehoek in een belijkzijdige driehoek construeren

driehoek ABC is gelijkzijdig; zijde AB=a. Construeer op zijde AB, op BC en op zijde CA de punten P,Q en R zo, dat driehoek PQR gelijkzijdig is, en opp. PQR= (1/3) opp. ABC (stel AP=x).

Syreeta
21-3-2002

Antwoord

Beste Syreeta,

Deze vraag lijkt een beetje op je eerdere vraag.

Nu is APR een van de drie driehoeken die overblijven naast PQR. De oppervlakte van de drie driehoeken tezamen is 2/3 deel van die van ABC, dus 2/9 deel elk.

Nemen we weer a=1, AP=x, dus AR=1-x, dan zien we dat de basis AP met een factor x is vermenigvuldigd ten opzichte van basis AB van ABC, en de hoogte vanuit R op AP(=AB), met een factor 1-x ten opzichte van de hoogte uit C op AB.

Dus

OppABR = x·(1-x)·OppABC

ofwel

x(1-x) = 2/9
9x²-9x+2 = 0

en we vinden met de abc-formule

x = 1/2 ± 1/6
= 1/3 of 2/3

Veel eenvoudiger dan je eerdere opgave!

Zie Vraag 2201 [http://www.wisfaq.nl/showrecord3.asp?id=2201]

FvL
21-3-2002