WisFaq!

Algebraisch rekenen met x-a

hallo, ik heb morgen examen van wiskunde en ik heb echt geen idee hoe ik dit soort oefeningen moet oplossen:

ontbind deze veelterm in factoren van de eerste graad of onontbindbare factoren van de tweede graad. Zonder daartoe eerst een factor af van de vorm x-a Î

2x³+7x²-5x-4

Heel erg bedankt voor jullie hulp!!

Thomas
24-3-2004

Antwoord

Beste Thomas,

Schrijf eerst alle delers van de constante term op, de delers van -4 zijn ±1, ±2 en ±4. Door deze één voor één in te vullen in de functie kom je erachter welke de zogeheten nuldeler is (d.w.z. je vult bijvoorbeeld 1 in, en je krijgt 2·1³+7·1²-5·1-4 = 2+7-5-4=0).
Die nuldeler is alvast een factor, je schrijft alvast (x-nuldeler) op, in ons geval (x-1). Om nu te weten met welke factor we moeten vermenigvuldigen gaan we een beroep doen op het schema van Horner. Schrijf eerst alle coëfficiënten van de te ontbinden functie op (de termen moeten wel gerangschikt zijn op dalende machten, indien er een term ontbreekt zet je een nul in het schema).
Hier zijn de coëfficiënten dus 2x³ + 7x² -5x -4.

Die coëfficiënten zet je naast elkaar in een rijtje. Linksonder zet je de nuldeler, in ons geval 1. Dan ziet je schema er zo uit.

Wat je nu doet is de twee naar onder halen (die schrijf je dus onder de horizontale streep). Dan vermenigvuldig je datgene dat onder de streep staat met de nuldeler (die je linksonder hebt genoteerd), dan krijg je 2·1=2 dat resultaat zet je boven de horizontale streep, maar onder de 7. Nu tel je de getallen die onder elkaar staan bij elkaar op, en het resultaat zet je onder de horizontale streep. Hieronder vind je een schema dat de werkwijze verduidelijkt.


Kijk nu eens naar de getallen onder de horizontale lijn, die zijn 2 9 4 0. Nu beginnen we van rechts naar links te lezen, die 0 is de rest, die 4 is onze nieuwe constante term, die 9 is onze eerstegraadscoëfficiënt en die 2 is onze tweedegraadscoëfficiënt, m.a.w. er staat 2x²+9x+4+0, maar dat is hetzelfde als 2x²+9x+4.

Dus we hebben 2x³+7x²-5x-4 herschreven als (x-1)(2x²+9x+4).
Maar we kunnen de tweede factor 2x²+9x+4 via dezelfde werkwijze ontbinden in factoren, want schrijf alle delers van 4 maar weer op en probeer de nuldeler te vinden (die is -4) en maak maar hetzelfde schema...

Je zult zien dat 2x²+9x+4 = (x+4)(2x+1). En bijgevolg is 2x³+7x²-5x-4 = (x-1)(x+4)(2x+1). En dat zijn allemaal eerstegraadsfactoren. Je zou voor de zekerheid de haakjes nog kunnen uitwerken (om je ontbinding te checken), maar oké, ik hoop dat je de werkwijze begrepen hebt en zo niet reageer dan.

Er is nog een andere manier om te ontbinden, m.b.v. de Euclidische deling. Er zijn hier tal van voorbeelden in Wisfaq te vinden.

Groetjes,

Davy.

Davy
24-3-2004