WisFaq!

De complexe getallen en orde

Hoi! Ik snap iets niet, willen jullie het even verklaren? Er bestaat geen enkele totale orde in C die verenigbaar is met de optelling en de vermenigvuldiging. Zou dat ook te bewijzen zijn, of is dat gewoon zo.
Alvast dank
Tamara

Tamara
24-3-2004

Antwoord

Dag Tamara

Als er een totale orde bestaat in een verzameling moet deze gelden voor elk tweetal elementen van deze verzameling.

Stel nu dat
0 i.
Vermits 0 ¹ i moet 0 i.
We vermenigvuldigen beide leden met deze positieve i:
0.i i², dus
0 -1
We vermenigvuldigen beide leden met deze positieve -1:
0 1 .
We tellen de overeenkomstige leden van deze laatste twee ongelijkheden op :
0 + 0 -1 + 1 of
0 0 hetgeen uiteraard niet kan.

Ook als je stelt dat i 0 kom je tot dezelfde tegenspraak.

Dus je kan niet zeggen dat 0 i of dat i 0.

En dus bestaat er geen orderelatie tussen deze twee elementen van de verzameling en dus ook niet in de verzameling zelf.

LL
24-3-2004