WisFaq!

Het delen van veeltermen

Hallo,
Waar kan ik de bewijzen vinden voor volgende stellingen:

1) Als X-a een deler is van A(x) dan is a een deler van de constante term ao.

2) Als X-(p/q) een deler is van A(x) dan is p een deler van de constante term ao en q een deler van de coëfficiënt van de term met de hoogste macht an.

Alvast bedankt.

Joris Vanhoof
22-3-2004

Antwoord

Beste Joris,

Ik ga er van uit dat A(x) een veelterm is van de vorm a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ waarbij a_i een geheel getal is.

1) Als x-a een deler is van A(x), dan kunnen we dus schrijven A(x) = (x-a)*B(x). Hierbij is B(x) een veelterm met geheeltallige coëfficiënten, net als A(x), maar dan van graad n-1. Ga je nu haakjes wegwerken in het rechterlid, dan krijgen alle termen van het antwoord een x, behalve het product van -a en b₀, de constante term van B(x).

2) Dit lijkt mij in z'n algemeenheid niet juist. We weten dat x-¹⁰⁰/₁₀₀ een deler is van x²-2x+1, maar toch deelt 100 niet 1. Je zult de breuk ^p/_q zo ver mogelijk vereenvoudigd moeten hebben. Vervolgens kun je net zo'n redenering ophouden als bij 1). Neem A(x) = (x-^p/_q)*B(x), B(x) een veelterm van graad n-1 met geheeltallige coëfficiënten. Maak die redenering eens zelf af. Hint: waarom is b_n-1 een veelvoud van q?

Succes.

FvL
23-3-2004