WisFaq!

Uitbreiding van formules van Euler en Poincaré

Hartelijk bedankt voor het antwoord op mijn vragen. Ik had nog een vraag er bij staan die niet beatwoord is en waar ik wel graag iets over wil weten. het gaat om de volgende formule waar bij de genus k is: V+E-F=2-2k

met vr. gr.

carla goorhuis
21-3-2002

Antwoord

Beste Carla,

Voor deze formule moet je voor k de genus invullen. Als je bijvoorbeeld een 'ring' van 8 kubussen aan elkaar plakt, dan krijg je 1 gat, dus de genus is 1. Dat betekent dat je in moet vullen k=1, en je krijgt

V + E - F = 0.

De formule zoals jij hem noemt staat wel bekend als de formule van Poincaré, er is ook een uitgebreide versie van, die ook werkt met 'deuken' en met holtes (waarvan je de ribben, hoekpunten en zijvlakken dan meetelt). De uitgebreide formule kent een aantal extra variabelen:

G: Genus ('aantal gaten').
L: Number of Loops: het totaal aantal randen van alle zijvlakken bij elkaar. Normaal gesproken heeft een zijvlak natuurlijk één rand, maar als er een gat in zit, dan twee.
S: Number of Shells: het aantal 'schillen' van de figuur. Dat is er normaal gesproken maar één, maar als er een holte in de figuur zit, dan moet je die natuurlijk met een aparte schil bedekken.

De uitgebreide formule luidt nu

V - E + F - (L - F) - 2(S - G) = 0

Veel succes hiermee!

Zie The Euler-Poincaré formula [http://www.cs.mtu.edu/~shene/COURSES/cs3621/NOTES/model/euler.html]

FvL
21-3-2002