WisFaq!

Het Dirichletprobleem oplossen mbv de poissonintegraal

Beste meneeer/mevrouw,

Ik wil graag het het Dirichletprobleem oplossen m.b.v. de poissonintegraal. Het betreft het Dirichletprobleem op de schijf |z|=1 waarbij de gezochte functie op de rand de waarde 1 aanneemt als 0argzpi en de waarde 0 als piarg z2*pi.

1)Allereerst wilde ik iets vragen over iets wat voorkomt in de afleiding van de Poissonformule

f(z)=i*Imf(0)+ I Re f(e^(i*a))*[e^(i*a)+z/e^(i*a)-z]da

Met G een open gebied zo dat D={z in het compleze vlak C: |z|=1} bevat in G en f is een differentieerbare functie in G en z is element van |z|1.

Ik gebruik hoodletter I voor het intgraalteken en er wordt geintgreerd van o to 2*pi, dus die hoek a loop van 0 tot 2*pi.

Ergens in de afleiding van de Poissonformule wordt
(t-z)*(1-z'*t)( z'is z geconjugeerd) vermenigvuldigt met t*t'=1 en hieruit volgt dat

(t-z)*(1-z'*t)=(|t-z|^2)*t. En dat bgrijp ik niet.

Ik bgrijp ook niet waarom

[1-|z|^2)]/[|e^(i*a)-z|^2]=Re[ (e^(i*a)+z)/(e^(i*a)-z)]

2)Nu mijn vraag over het de oplossing met de Poissonintegraal
De oplossing heb ik uit verschillende oplossingen uit boeken samengesteld.Dus je hebt een gebied G en een continue functie f op de rand van G. Bepaal een continue functie u op g verenigt met de rand van G , die op G harmonisch is en zo dat f en u op de rand samenvallen. En
G={z in C en |z|1}:

Je probeert als oplossing
u(x,y)= 1/(2*pi)I f(cosa,sina)*Re[(e^(i*a)+z)/(e^(i*a)}-z)]da

VRAAG: Waarom deze oplossign proberen?

en de integraal I loopt van o tot 2*pi

En dan is volgens (*) z-u(x,y) een differentieerbare functie op G, dus u is harmonisch op G

(*) Zij p in C(het complexe vlak) en An is een rij complexe getaalen. En zij S[An(z-p)^n] de machtreeks om p(met S hier als vervanging van hetsommatieteken). UIt de kettingregel en een bepaalde stelling volgt dat de som
f: z-S[An(z-p)^n] en n loopt van o tot oneindig,
een differentieerbare functie is op de convergentieschijf.

VRAAG: Waarom volg dit uit (*) en waarom is u dus harmonisch?

Nu moet de continuiteit van u worden onderzocht op
{z in C:|z|=1}:
Je moet hiervoor opmerken dat uit de formule van Poissson voor f=1 volgt dat
1=i+(1/(2*pi)) I[(e^(i*a)+z)/(e^(i*a)}-z)]da
dus
1=(1/(2*pi)) I Re[(e^(i*a)+z)/(e^(i*a)}-z)]da
=(1/(2*pi)) I [1-|z|^2/]/[|e^(i*a)-z|^2]da

En nu bgrijp ik het volgende niet:

Daarom is u(x,y)-f(cosb, sinb)
=1/(2*pi)I{f(cosa,sina)-f(cosb,sinb)}*[1-|z|^2/]/[|e^(i*a)-z|^2]da

VRAAG:Waar komt nu de f(cosb, sinb) vandaan

Nu moet de integratieweg opgesplits worden in tweek stukken. (En nu volg ik het bewijs eigenlijk helemaal niet.)Een interval om b waarop

|f(cosa,sina)-f(cosb,sinb)| 1/2*e ( e eigenlijk een epsilon)en de rest.
Waarom is ddit zo?

en hier is |e^(i*a)-z|=delta0.(Waarom)We hebben dan

|u(x,y)-f(cosb, sinb)|=
1/(2*pi) I(epsilon/2)*[1-|z|^2]/
[|e(i*a)-z|^2]da
+1/(2*pi)I Max|f|[(1-|z|^2)/delta^2]
=(epsilon/2)+{(1/(pi*delta^2))
*Max|f|*(1-|z|^2)}
Wat zegt dit nu? En nu volgt dat u contunu os op (z in C: |z|=1} en dat u en f op de rand samenvallen. Waarom is dat zo?

Het is een hele uitdaging om dit te lezen, ik hoop dat u mij verder kunt helpen. Alvast bedankt voor uw geduld, tijd en moeite.
Heel veel groeten,

Viky

viky
20-3-2004

Antwoord

Hallo Viky,

Stevige vraag, ik zal mijn best doen...
1) (t-z)*(1-z'*t)=(|t-z|^2)*t
(t-z)(1-z't) = (t-z)(1-z't)tt' wegens tt'=1
= t(t-z)(t'-z'tt') door t' binnen de haken te brengen
= t(t-z)(t'-z') want tt'=1
= t(t-z)(t-z)'
= t(|t-z|²) want aa'=|a|² voor elke complexe a

Tweede vraag:

[1-|z|^2)]/[|e^(i*a)-z|^2]=Re[ (e^(i*a)+z)/(e^(i*a)-z)]

Dit doe je als volgt: vertrek van het rechterlid, de uitdrukking waarvan je het reëel deel moet nemen. Vervang e^(ia) door cosa + isina en vervang z door s+ti. Maak dan de noemer reëel door hem te vermenigvuldigen met zijn geconjugeerde. Je houdt dus een complexe teller gedeeld door een reële noemer over, waarvan je het reëel deel moet nemen, dus mag je het complexe deel van de teller schrappen.

Die teller komt dan uit op 1-s²-t², dus 1-|z|²
De noemer komt uit op 1+s²+t²-2scosa-2tsina. Om te controleren dat dit de gewenste noemer |e^(ia)-z|² is, moet je die laatste op dezelfde manier uitwerken, dat wordt:
|cosa-s + i(sina-t)|²
= cos²a + s² -2scosa + sin²a + t² -2tsina

Dus dat klopt.

2) Je wil dus, gegeven een f, een u construeren die aan drie voorwaarden voldoet: harmonisch, continu, en samenvallend met f op de rand |z|=1.

* Waarom probeer je juist die u(x,y)? Ik veronderstel overigens dat x en y het reëel resp. complex deel vormen, want in 1) was f nog een functie die inwerkt op complexe getallen, dus als f en u willen samenvallen moeten ze allebei op hetzelfde inwerken... Tsja, allicht probeer je die u(x,y) omdat het daarmee wel zal lukken.

* VRAAG: Waarom volg dit uit (*) en waarom is u dus harmonisch?

Hier ben ik niet volledig zeker, maar: als je u(x,y) in het punt (0,0) kan schrijven als machtreeks, dan is de functie differentieerbaar in de convergentieschijf (volgens (*)), maar die convergentieschijf is juist |z|1 want dan gaat (z-0)ⁿ naar 0

Dus rest de vraag: kan je u(0,0) wel schrijven als machtreeks? Wel, vul z=0 in in de uitdrukking (x,y), dan staat er nog:
u=1/(2p)òf(cosa, sina)da
en waarschijnlijk zal je aan f wel voldoende eisen opgelegd hebben?

Ook rest nog de vraag: nu u differentieerbaar is, is u ook harmonisch? Antwoord: ja, want het reëel deel van een differentieerbare functie (alsook het complex deel) is harmonisch (zie bv deze link paragraaf 2.14)

En vermits u per definitie zuiver reëel is, gaat deze stelling op.

* Dan het luik over de continuïteit:
VRAAG:Waar komt nu de f(cosb, sinb) vandaan?
u(x,y)-f(cosb,sinb)

- Vervang hierin u(x,y) door de uitdrukking helemaal in het begin, waarbij je evenwel de Re((e^(ia)+z)/(e^(ia)-z)) vervangt door de in 1) afgeleide uitdrukking.
- En vermenigvuldig f(cosb, sinb) met de uitdrukking voor 1 die je net hebt afgeleid, nl
1 = (1/(2*pi)) I [1-|z|^2/]/[|e^(i*a)-z|^2]da

Je kan dan f(cosb,sinb) binnen de integraal brengen.
Zo zie je dat je binnen de integraal een stuk apart kan nemen, en zo kom je tot die
u(x,y)-f(cosb, sinb)
=1/(2*pi)I{f(cosa,sina)-f(cosb,sinb)}*[1-|z|^2/]/[|e^(i*a)-z|^2]da

De b is dus een volledig willekeurige reële waarde.

Dan dat opsplitsen: je weet dat f continu is, dus ook continu in (cosb, sinb). Dat betekent dat, als je in een punt gaat kijken dat heel dicht bij (cosb, sinb) ligt, dat de functiewaarde daar maar weinig gaat verschillen.

Preciezer: voor elke e bestaan er a-waarden die zodanig dicht bij b liggen, dat de functie f in die a-waarden, hoogstens e/2 afwijkt van de functie in (cosb,sinb).

Dus waarom is dit zo: wegens continuïteit van f
Waarom doe je dit: omdat je beide integralen op een andere manier zal moeten aanpakken.

In het stuk dicht bij b kan je die f(cosa,sina)-f(cosb,sinb) vergroten tot e/2 en dit buiten de integraal brengen. Wat overblijft binnen de integraal, is gelijk aan 1 zoals je eerder al had bewezen. Dus dat deel is kleiner dan e/2

In het andere stuk kan je niks zeggen over die f(cosa,sina)-f(cosb,sinb), behalve dan dat je weet dat f begrensd is, dus dat |f(cosa,sina)-f(cosb,sinb)|2*Max|f|
Bovendien weet je dat a en b vrij ver van elkaar liggen (anders zaten we in het eerste integraalstuk), dus dat |e^(ia)-e^(ib)|d

En dat gebruik je om die noemer te verkleinen (dus de uitdrukking te vergroten!) tot d²... f bestaat enkel op de rand, u bestaat op heel de cirkel + rand.

Dus wat haal je uit die opsplitsing: als je (x,y) gelijk neemt aan (cosb,sinb) dan wordt de eerste integraal willekeurig klein, en de tweede wordt nul. Dat bewijst de gelijkheid van u en f in het punt (cosb,sinb). Maar b was willekeurig gekozen, dus op de hele rand zijn u en f gelijk.

Voor de continuïteit kies je (x,y) op de rand, maar niet gelijk aan (cosb,sinb). Dan wordt de tweede integraal nul, want z ligt op de rand, dus 1-|z|²=0. En de noemer is niet nul, want je hebt die a-waarden waarvoor e^(ia)-z klein wordt, net in de eerste integraal gestoken...

Zo, ik ben er min of meer door... Als er nog vragen zijn dan reageer je maar he

Groeten,
Christophe.

Christophe
25-3-2004