WisFaq!

Cardano

Ik ben bezig met het maken van een werkstuk over Girolamo Cardano en ik zit nog met een enkele vraag, ondanks alle informatie die ik al gevonden heb (mede dankzij deze site), die ik niet kan beantwoorden. Misschien komt het omdat ik het overzicht een beetje kwijt ben geraakt nu ik helemaal in die formules van Tartaglia en Cardano zit. Maar goed ik hoop dat U mij kunt helpen.

De vraag luidt: Is het nu mogelijk om met de formule van Cardano ALLE willekeurige derdegraadsvergelijkingen met willekeurige a, b, c en d op te lossen, kun je laten zien dat elke vergelijking is te schrijven in de vorm die Tartaglia gebruikt of moet er nog iets bij?

Roderick
20-3-2004

Antwoord

Beste Roderick,
Cardano en/of Tartaglia gebruiken de vorm z³+a₀z²+a₁z+a₂=0
Dit is gelijk aan de definitie van een derdegraadsvergelijking (zie in het Engels: http://mathworld.wolfram.com/CubicEquation.html).

Meestal leer je op school dat een derdegraads vergelijking de vorm heeft van: ax³+bx²+cx+d=0
Als je nu deze zowel links als rechts deelt door a krijg je altijd (zolang a ongelijk is aan 0):
(ax³+bx²+cx+d)/a=0/a
x³+b/a·x²+c/a·x+d/a = 0
Vervangen we nu:
x = z
b/a=a₀
c/a=a₁
d/a=a₂
Dan krijgen we:
z³+a₀z²+a₁z+a₂=0
Wat weer precies de vergelijking is van de definitie van een derdegraads vergelijking.

In het bewijs van Tartaglia/Cardano wordt er vaak 1 uitzondering over het hoofd gezien, deze is alsnog eenvoudig op te lossen.
Het probleem wordt uitvoerig beschreven op CardanoOplossing (pg. 30 - 32).

Hopelijk zo voldoende antwoord op je vraag.

M.v.g.
PHS

PHS
21-3-2004