WisFaq!

Limieten voor x naderend naar 0

Zou U me met volgende kunnen helpen:
lim(x^x); lim[log(1+2)]; lim[(3^x-1)/x] als in alle 3 gevallen x$\to$0.
Dank U wel.

Karina
18-3-2004

Antwoord

De tweede limiet hebt u blijkbaar niet goed weergegeven?

De derde limiet: als x naar 0 nadert, nadert 3^x - 1 naar 3⁰ - 1 = 1-1 = 0; dus teller en noemer van (3^x-1)/x naderen naar 0; volgens de stelling van l'Hôpital nadert de breuk dan naar dezelfde limiet als die van (3^x)·ln(3)/1, dus naar ln(3).
Immers, de afgeleide van 3^x-1 = e^(x·ln(3))-1 is volgens de kettingregel e^(x·ln(3))·ln(3) = (3^x)·ln(3), en de afgeleide van x is 1.

Men mag l'Hôpital toepassen als teller en noemer beide naar 0 naderen, maar ook als teller en noemer beide naar oneindig naderen. Deze laatste variant gebruiken we hieronder.

De eerste limiet: x^x = e^x·ln(x).
De limiet van x·ln(x) kunnen we met l'Hôpital berekenen na substitutie x=1/t:
als x van boven naar 0 nadert, nadert t naar oneindig, en x·ln(x) = ln(1/t)/t = -ln(t)/t nadert dan volgens de tweede variant van l'Hôpital naar dezelfde limiet als die van (-1/t)/1, dus naar 0.
Dus x^x nadert dan naar e⁰ = 1.

hr
18-3-2004