WisFaq!

Twijfel aan de absolute meetkunde van Euclides

Waar zijn in de geschiedenis van de meetkunde tekenen van twijfel aan de mogelijkheid van een absolute meetkunde gebaseerd op Euclides?
Kunt u mij een antwoord geven op deze vraag?

Koen Velde
16-3-2004

Antwoord

De absolute meetkunde (ook wel neutrale meetkunde) is niets meer (of eigenlijk 'iets' minder) dan de 'gewone' euclidische meetkunde met 'weglating' van het parallellenpostulaat (Euclides' 5e postulaat); die meetkunde is dus in principe baseerd op de eerste vier postulaten van Euclides.
Ik meen dan ook, dat er niet getwijfeld hoeft te worden aan de 'mogelijkheid' van een absolute meetkunde. Die meetkunde is er gewoon.
En het aantal stellingen in die meetkunde is dus beperkt (in ieder geval beperkter dan in de euclidische).
Borsuk en Szmielew (in: Foundations of Geometry, Amsterdam 1960) vermelden er 287.

Dat er in het verleden wel wat twijfels gerezen zijn bij axiomatische opbouw van de meetkunde (dus ook van de absolute), is buiten kijf.
Eigenlijk is dat al begonnen bij Pappos (in z'n commentaar op de Elementen). Daarna is er heel wat gezegd en geschreven over de 'grondigheid' van Euclides' axiomatiek. Immers, veel van Euclides' bewijzen zijn gebaseerd op getekende figuren (hoewel Plato dat verboden had).
Willen we dus een steviger fundament hebben dan dat van Euclides, dan zijn meer axioma's nodig (Moritz Pasch, 1862). Een voorbeeld daarvoor is het (ook niet geheel volmaakte) axiomasysteem van David Hilbert (1862-1943), dat gebaseerd is op incidentierelaties, 'liggen tussen', congruentie, continuïteit en evenwijdigheid.

Een voorbeeld van 'liggen tussen'.
Gegeven een driehoek ABC met AC = BC. Te bewijzen dat ÐA = ÐB.
Gebruikelijk is (of was?) dan de bissectrice van ÐC te tekenen (elke hoek heeft er één; bewijs!) en het snijpunt D van die lijn te bepalen met het lijnstuk (of de lijn) AB.
Maar hoe weten we dat het punt D tussen de punten A en B, op het lijnstuk AB, ligt?

Overigens, de studie van de absolute meetkunde, ontstaan door twijfel aan Euclides' vijfde postulaat, heeft zeker bijgedragen aan het onderzoek van de invloed van Euclides' vijfde op de meetkunde, met als gevolg de 'ontdekking' van de elliptische en hyperbolische meetkunde(n).

In dit verband is het wellicht nuttig om het volgende nog op te merken (met dank aan FvL).

Het parallellenpostulaat is equivalent met:
Gegeven een lijn en een punt niet op de lijn. Dan is er precies één lijn door het punt die de gegeven lijn niet snijdt.

De niet-euclidische meetkunden vervangen die "precies één" door geen, dan wel twee of meer.

Je kunt modellen maken, "meetkundes" dus waarin je ziet dat de eerste vier postulaten wel voldoen, en de vijfde niet. Daarvoor kun je binnen de 3D-uitbreiding van de Euclidische context blijven.

Een voorbeeld daarvan is de meetkunde op een bol waarbij een "punt" wordt op gevat als twee diametraal tegenover elkaar liggende punten op de bol, en een "lijn" als een cirkel op die bol met het middelpunt van de bol als middelpunt. Dit is een model waarin het vijfde postulaat niet geldt - er zijn geen parallelle lijnen.

Het parallellenpostulaat is dus onbeslisbaar in de absolute meetkunde: je kunt uit de vier postulaten het niet bewijzen, en ook niet verwerpen.

In 1763 (al!) schreef G.S. Klügel een dissertatie waarin hij 28 verschillende, reeds bestaande (zogenaamde) bewijzen analyseerde, en daarmee gaf hij als eerste voldoende bodem aan de twijfel dat het vijfde postulaat uit de andere vier zou kunnen worden bewezen.

Zie MathWorld - Parallel Postulate [http://mathworld.wolfram.com/ParallelPostulate.html]

dk
18-3-2004