WisFaq!

Wat is nu het bewijs?

Every 4-th Fibonacci number is a multiple of 3 i.e. a multiple of F(4)
Elke vierde Fibonacci nummer is een veelvoud van 3. Ik heb dit op een van jullie links gevonden wat is het bewijs hiervan?

Maikel
15-3-2004

Antwoord

Beste Maikel,

We maken de Fibonacci-rij modulo 3. Dat wil zeggen dat we alleen de resten opschrijven bij deling door drie. Dus in plaats van 17 bijvoorbeeld schrijven we 2, want 17/3 = 5 rest 2. Je gooit als het waren steeds de drievouden weg. We doen zoiets ook in klokrekenen - maar dan modulo 12: als het 11 uur is, dan is het twee uur later 1 uur.

Het leuke is dat optelling behouden blijft. Als a+b=c, dan voldoen ook de resten a', b' en c' aan a'+b'=c' modulo 3. Bijvoorbeeld 17+17 = 34 wordt in resten 2+2=1, en dat laatste klopt modulo 3.

Als we dat doen, krijgen we

1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 ...

Dat de herhaling zich oneindig voortzet kunnen we nu aantonen doordat de optelling modulo 3 gewoon doorgaat. Dus op 1 1 in de Fibonacci-rij modulo 3 volgt altijd 2, op 1 2 altijd 0 enz.

Op het moment dat je voor de tweede keer 1 1 tegenkomt weet je dat het stukje van 1 1 2 0 zich telkens zal herhalen.

FvL
15-3-2004