WisFaq!

Integraal; vallend voorwerp met luchtweerstand

Ik moet de differentiaalvergelijking dv(t)/dt=g-k·v(t)² gaan integreren om zo een functie voor v(t) te vinden.

Eerst moet dit voor k=2 (om daarna te beoordelen of dit een reële waarde voor k is), daarna ook voor willekeurige k.

Voor g mag ik (neem ik aan) de gemiddelde valversnelling op aard nemen? Dan geldt dus ook g=9,81. Verder geldt nog de beginvoorwaarde v(0)=0.

Ik heb geprobeerd de vergelijking op te lossen door het splitsen van de breuk, zodat ik het kwadraat kwijtraakte, maar ik kom er echt niet uit. Kan iemand mij helpen?

Emy
15-3-2004

Antwoord

Hoi Emy,

Allereerst zullen we de benodigde integraal in standaard-vorm brengen. Je hebt dv/dt / (g - k v²) = 1, dus

t-t₀ = _v(t0)^v(t)$\int{}$ 1/(g - k v²) dv = 1/√(gk) _{x=√(k/g) v(t0)}^{√(k/g) v(t)}$\int{}$ 1/(1 - x²) dx.
(sorry dat de grenzen van de integralen er zo raar bij hangen, maar ik heb de indruk dat je dit deel nog wel zelf kon)

Wat rest is dus de vraag wat de integraal van 1/(1-x²) is. Het flauwe antwoord is dat dit een standaard integraal is, met arctanh(x) als primitieve, maar de arctangens hyperbolicus zul je wel niet kennen. Dan dus inderdaad maar via breuksplitsen:

$\int{}$ 1/(1-x²) dx = ¹/₂ $\int{}$ 1/(1+x) + 1/(1-x) dx = ¹/₂ (ln(1+x) - ln(1-x)) = ¹/₂ ln((1+x)/(1-x)).

Als we dit antwoord nu gebruiken, dan krijgen we (omschrijfwerk te besparen, vul ik nu t₀=0 en v(t₀)=0 maar wel in; het kan ook best algemener worden uitgewerkt):

2 √(gk) t = ln((1+√(k/g) v) / (1-√(k/g) v)), dus e^{2 √(gk) t} = (1+√(k/g) v) / (1-√(k/g) v).

Maar nu willen we natuurlijk nog v als functie van t vinden, dus moeten we dit oplossen naar v. Ga zelf na dat de oplossing van (1+x)/(1-x)=a naar x gegeven wordt door x=(a-1)/(a+1). Dat geeft hier:

√(k/g) v = (e^{2 √(gk) t} - 1) / (e^{2 √(gk) t} + 1) = (e^{√(gk) t} - e^{-√(gk) t}) / (e^{√(gk) t} + e^{-√(gk) t}).

Voor de tweede gelijkheid is hier zowel teller als noemer gedeeld door e^{√(gk) t}. Ik kan me voorstellen dat jij de laatste formule niet eenvoudiger vindt dan de eerste, maar (e^x-e^-x)/(e^x+e^-x) is de definitie van de tangens hyperbolicus. Dus ook langs deze weg vinden we

v(t) = √(g/k) tanh(√(gk) t).

Of (ik kan het niet laten om ook de algemene oplossing te geven ):

v(t) = √(g/k) tanh( √(gk) (t-t₀) + arctanh(√(k/g) v(t₀)) ).

Ik hoop dat je hiermee geholpen bent.

Guido Terra

gt
17-3-2004