WisFaq!

Extreme waarden

Hallo,
ik zit hier verveeld met een oefening op extreme waarden.
De afstand zou bepaald moeten worden tussen een rechte A tot een oppervlak M.
A:{x = t + 1, y = -t, z = 0}
M: x² + y² = z

Ik denk dat M de beperkende factor is kan ik deze dus als lambda factor pakken. Maar hoe kan ik dan die A als doelfunctie omschijven zodat ik die in mijn vergelijking kan zetten?
Of ben ik verkeerd bezig?

Vriendelijke groeten,
Frank

Frank
13-3-2004

Antwoord

Hoi Frank,

je kunt het jezelf een stuk gemakkelijker maken door eerst een schets te maken en te zien (of evt. te bewijzen) dat het probleem symmetrisch is onder spiegeling in het vlak x=y. Daardoor kun je snel inzien dat het minimum wordt aangenomen in dat vlak, dus het punt op A is voor t=-¹/₂: (¹/₂,¹/₂,0). Dan kun je daarna op M gewoon de afstand tot dat punt minimaliseren.
Ik kan me echter voorstellen dat dat niet de bedoeling is van deze opgave. Daarom ook twee meer algemeen toepasbare methoden:

1) beschrijf M met een parametrisatie (hint: gebruik cilinder-coordinaten r, q, z en z=r²). Daarna zijn er geen beperkingen meer op r, q en t, zodat je gewoon de drie afgeleiden kunt berekenen en nulstellen.

2) Als je Lagrange-multipliers wilt gebruiken (en daar lijkt het op als je het over lambda-factor hebt), dan kun je beter niet alleen M als beperking nemen, maar het alle coordinaten samen nemen. In dit geval ligt het voor de hand om dan de parameters t,x,y en z te gebruiken. De afstand tussen de punten (x,y,z) en (t+1,-t,0) is dan de doelfunctie in de 4-dimensionale ruimte (t,x,y,z) en als beperking heb je x²+y²-z=0. De afgeleide van de beperking naar t is dus gewoon 0, lekker makkelijk ...

3) Overigens zou je de minimalisatie dus ook in 6 dimensies kunnen doen met coordinaten x_A,y_A,z_A,x_M,y_M,z_M, met als beperkingen: z_A=0, x_A+y_A=0 en x_M²+y_M²-z_M=0. Dit wordt een stuk meer werk, met drie Lagrange-multipliers. Ik noem het toch even omdat het op deze manier misschien wat duidelijker is wat ik bedoel met "niet alleen M als beperking nemen". Bovendien werkt dit ook in wat algemenere gevallen als beide objecten door vergelijkingen worden beschreven.

4) Je kunt ook op de door jou voorgestelde weg verdergaan en een doelfunctie op M bepalen. In dat geval moet je voor elk punt (x,y,z) op M bepalen wat de minimale afstand tot A is. Dat is ook best te doen, want de optimale t is best te vinden met wat rekenwerk...

Zoals je ziet, er zijn meerdere wegen die naar Rome leiden, ik hoop dat je hieruit de weg kunt kiezen die je het meeste aanspreekt.
Met vriendelijke groet,

Guido Terra

gt
15-3-2004