WisFaq!

Deelruimtes

Toon aan dat de volgende verzamelingen geen deelruimten zijn van ^2
M1={(x,y) Î ^2; x+y=1}

Moet een deelruimte steeds vector (o.o) (de nulvector dus...) bevatten? Is het voldoende om aan te tonen bij deze oef:
x+y=1 = x=y-1
dus (x,y) - (y-1, y)
en voor elke waarde van y bevat M1 nooit de mulvector?

Maar als je dan hebt:

M2= {(x,x²); xÎ}
als je dan neemt: x=0 dan zou M2 wel de nulvector bevatten en klopt dit niet... Hoe moet het dan wel?

Kan iemand me hierbij te hulp schieten?

Dank bij voorbaat...
Anne

Anne
10-3-2004

Antwoord

Dat (0,0) in de verzameling moet zitten, is een NODIGE voorwaarde, maar nog niet voldoende...

Voor een deelruimte heb je volgende eisen:

1. Als een element erin zit, zit ook een reëel veelvoud van dat element erin. Hieruit volgt inderdaad dat, als je verzameling een element x bevat, ook 0x erin moet zitten, dus de nulvector moet inderdaad een element zijn. Dat beantwoordt de eerste opgave (NB: als x+y=1 dan x=1-y, je hebt daar een tekenfout gemaakt maar de redenering was wel correct)

2. Als twee elementen erin zitten, dan moet ook hun som erin zitten. Op deze eis loopt de tweede opgave vast: (1,1) en (2,4) zijn elementen, maar (1+2,1+4)=(3,5) niet want 3²=9¹5.

Als je dus zulke oefeningen moet oplossen (bewijs dat een verzameling geen deelruimte is), moet je elementen zoeken die niet aan één van de twee eisen voldoen. Als je moet bewijzen dat een verzameling een deelruimte is, moet je nagaan of de twee voorwaarden overal geldig zijn.

Christophe
10-3-2004