WisFaq!

Inhoud van een `geperforeerde` bol

Stel: je hebt een appel zo groot als de aarde. haal het klokhuis weg door van noord- naar zuidpool te boren met een enorme appelboor, die een diameter heeft maar iets kleiner dan die van de aarde. Op die manier blijft er maar een heel dun ringetje meer over met een boorgathoogte van 10 cm (de HOOGTE van het cilindrisch gat, NIET de diameter). Als je nu het overblijvende volume appel herkneed tot een nieuwe appel, hoe groot wordt deze appel dan?!

De nieuwe appel zal een diameter hebben van 10 cm .. wat toch nogal opmerkelijk is! Hoe bewijs je zoiets?

Waarschijnlijk is het gemakkelijkste om te beginnen met het berekenen van de doorboorde appel via integralen? of ben ik verkeerd? en hoe dan verder?

Ik vond ook ergens nog de volgende informatie (al helpt die mij niet veel verder): Eigenschap: Het volume van een appel waaruit het klokhuis cilindrisch weg geboord is, hangt enkel af van de hoogt van het cylindrisch gat.

Sam
10-3-2004

Antwoord

dag Sam,

Inderdaad een verrassend resultaat.
De eigenschap die je in je laatste regel formuleert, ligt wel ten grondslag aan de berekening van het resterende volume.
Immers: als dat volume enkel afhangt van de hoogte van het cilindrisch gat, dan kies je een appel met diameter 10, waarbij dus de diameter van het boorgat 0 is. Het volume van die appel bepaalt dus het volume van elk van de ringetjes die overblijven als het cilindergat 10 cm hoog is.
Het bewijs kan inderdaad geleverd worden met integraalrekening: je berekent het omwentelingslichaam van de cirkelboog
√(R²-x²) van x=-D/2 tot x=D/2
en trekt daarvan het volume af van de cilinder met hoogte D en grondvlak met straal √(R²-(¹/₂D)²)
en het resultaat blijkt alleen af te hangen van D, en niet van R.
groet,

Anneke
10-3-2004