WisFaq!

Poisson-verdeling

DEZE VRAGEN MOETEN BEANTWOORD WORDEN AAN DE HAND VAN DE POISSON-VERDELING!!

Wendy gaat naar een concert van de Kelly Family, bestaande uit 6 leden, dat plaatsvindt in Tilburg, concertzaal 013. Daar is plaats voor 2200 bezoekers. Het concert is helemaal uitverkocht.

a) Wat is de kans dat Wendy uit het publiek wordt gehaald door Paddy om op het podium tekomen, als Paddy in totaal 3 meisjes uitkiest tijdens het concert?

b) Ieder lid deelt na het concert gemiddeld 50 handtekeningen uit en buiten staan er 1200 fans te wachten. Wat is de kans dat Wendy na afloop een handtekening weet te bemachtigen van een lid van de Kelly Family?

c) Wat is de kans dat Wendy van alle 6 de leden een handtekening krijgt?

Wendy Uitterhoeve
19-3-2002

Antwoord

Waarom de Poisson-verdeling? Dat is helemaal niet nodig voor dit probleem. De Poisson-verdeling wordt gebruikt als benadering van de binomiale verdeling als p heel klein is en n heel groot. Vroeger vaak handig, omdat je Poisson-kansen makkelijker kon berekenen dan binomiale kansen. Met de grafische rekenmachine is dit probleem uit de wereld.
Hieronder reken ik de kansen uit met de TI83.

a. Dit lijkt me geen vraag voor de Poisson-verdeling. Paddy wijst waarschijnlijk 3 verschillende mensen aan, zodat de kans dat Wendy op het toneel komt gelijk is aan ³/₂₂₀₀ 0,001363636.
Als je persé de Poisson-verdeling wilt misbruiken: benader de trekking van de drie mensen met een binomiale stochast (dat is een vrij goede benadering, want 3 is klein tov. 2200). Definieer de stochast X = het aantal keer dat Wendy op het toneel mag komen. Als Wendy dat één keer voor elkaar krijgt is met deze binomiale verdeling haar kans gelijk aan:
P(X=1 | n=3, p= ¹/₂₂₀₀) = binompdf(3,1/2200,1) 0,001362397.
Benaderen met de Poisson-verdeling dan maar, de verwachtingswaarde is µ = np = ³/₂₂₀₀. De kans is nu gelijk aan:
P(X = 1 | µ = ³/₂₂₀₀) = poissonpdf(3/2200,1) 0,001361778

b. In totaal zijn er 3400 mensen. Als we aannemen dat de 6 · 50 = 300 handtekeningen zodanig worden gezet dat elke handtekening met een kans van ¹/₃₄₀₀ bij Wendy komt, is haar kans op een handtekening te benaderen met een binomiale verdeling met n=300 en p=¹/₃₄₀₀. Deze benaderen we dan met de Poisson-verdeling met µ = ³⁰⁰/₃₄₀₀ .
P(Wendy krijgt één handtekening) = poissonpdf(300/3400,1) 0,08078

c. De kans dat ze van een familielid één handtekening krijgt is (benaderd): poissonpdf(50/3400,1) 0,01449.
De kans op 6 successen is te berekenen met de binomiale verdeling met n=6 en p=0,01449 (niet benaderen met Poisson). Deze kans is gelijk aan: (0,01449⁶ 9,26·10^-12.

Kijk ook nog eens naar Formule poisson-verdeling en Poisson verdeling

jr
20-3-2002