WisFaq!

Euklides priemgetallen

Kunt u deze stelling uitleggen?

We laten hieronder het bewijs volgen, zoals dat door Euclides (Euclides van Alexandrië, ~325 - ~265 vC) is gegeven als Propositie 20 van Boek IX van zijn Elementen.
Uiteraard bewijst Euclides deze stelling door gebruik te maken van lijnstukken die de getallen representeren. We zullen dat hier echter achterwege laten.
Zijn A, B, C priemgetallen.
Ik zeg nu dat er meer priemgetallen zijn dan A, B en C.
Zij D het kleinste getal, dat gemeten wordt door A,B,C. [dk: d = abc].
Laat de eenheid nu bij D worden opgeteld tot F [dk: we bekijken dus f = d+1 = abc +1]
Nu is F een priemgetal of niet.
Ten eerste, zij F een priemgetal; dan hebben we de priemgetallen A,B,C,F; en dat zijn er meer dan A,B,C.
Vervolgens, zij F geen priemgetal; dan moet het gemeten worden [dk: deelbaar zijn] door een priemgetal.
Laat het gemeten worden door het primegetal G.
Ik zeg nu, dat G niet hetzelfde is als de getallen A,B,C.
Maar we gaan ervan uit dat dit wel zo is.
A,B,C meten D; G meet D dus eveneens. Maar het [dk: G] meet ook F. G moet dus ook de eenheid meten. En dit is onzin.
Dus G valt niet samen met A,B,C; en volgens de veronderstelling is het een priemgetal.
Dus hebben we de priemgetallen A,B,C,G gevonden; en dat zijn er meer dan A,B,C.
Hetgeen bewezen moest worden. •

Deze uitleg hadden wij, maar we vermoeden dat hij niet klopt:

A= 2
B= 3
C= 5
A keer B keer C = 30, dus D = 30 of een ander getal dat door 30 gedeeld kan worden.
D = 30
F = D + x, bijbld.: 31
F = 31
F = een priemgetal of niet.
31 kan alleen gedeeld worden door 1 en zichzelf, dus is het een priemgetal. Dus zijn er meer priemgetallen dan A, B en C
F = D + x. bijvbld.: 33
F= 33
F = een priemgetal of niet.
33 is geen priemgetal, omdat het door 3 gedeeld kan worden. Omdat het geen priemgetal is, moet het gedeeld kunnen worden door een priemgetal G.
Als G hetzelfde is als A,B,C, dan moet D er ook door gedeeld kunnen worden. Dus G moet of 2 of 3 of 5 zijn. Maar F moet ook door G gedeeld worden. En 33 kan wel door 3 gedeeld worden.

alvast bedankt

astrid korporaal
10-3-2004

Antwoord

Je maakt een denkfout in het laatste deel van je verhaal. Euclides zegt: als a, b en c de enige priemgetallen zouden zijn, kijk dan vervolgens eens naar abc+1.

Als abc+1 óók een priemgetal is, dan heb ik dus meteen al een groter priemgetal dan a, b en c gevonden (want uiteraard is abc groter dan a, groter dan b en groter dan c, want we hebben het hier over positieve getallen)

De tweede mogelijkheid is dat abc+1 géén priemgetal is. Omdat elk getal deelbaar is door een priemgetal, geldt dat ook voor het getal abc+1.
Maar dat zijn (is de gedachte) alleen maar a, b en c.
Je kunt echter zo zien dat als je abc+1 deelt door a of door b of door c altijd rest 1 overhoudt. Dus moet er naast a,b en c nog een ander priemgetal zijn.

Ik ga nu terug naar jullie verhaal.
Je weet nu dus dat er in ieder geval 4 priemgetallen zijn, namelijk 2, 3, 5 en 31.
Bereken nu 2.3.5.31+1 = 931

Als dit een priemgetal is, dan heb je meteen een vijfde exemplaar gevonden, zodat 31 in ieder geval niet de laatste was.
Als 931 echter géén priemgetal is, dan moet je het kunnen delen door een kleiner priemgetal, en dat kan dus alleen maar zijn door 2, door 3, door 5 of door 31 (want dat zijn de enige priemgetallen, in onze opvatting).
Dat lukt echter nooit, want je houdt altijd de rest 1 over (probeer maar).
Dan moet 931 dus deelbaar zijn door een ánder priemgetal naast het viertal dat ik al in mijn bezit had. En dus moet er naast de 2, 3, 5 en 31 blijkbaar nog een ander priemgetal zijn.

Het lastigste punt is natuurlijk om te ontdekken of 931 nou wel of niet priemgetal is.
Wel: 931 = 7x7x19 (dus geen priemgetal, maar wel deelbaar door de priemgetallen 7 en 19).

Het is een ongelooflijk slim bewijs dat die Euclides al eeuwen geleden wist te geven. Men beschouwt het wel als het fraaiste bewijs dat de menselijke geest heeft kunnen voortbrengen. Kort, en ongelooflijk doeltreffend.

MBL
10-3-2004