WisFaq!

Bewijs insluitstelling via epsilon en delta

Hoe kan je de insluitstelling bewijzen via epsilon en delta formules?

Hoe kan ik hieraan beginnen?
Kan iemand me aub verder helpen?

Alvast bedankt voor de moeite...

Anne
9-3-2004

Antwoord

Dag Anne,

De insluitstelling zegt het volgende:
als f(x)g(x)h(x) voor elke x in een omgeving van a
en als lim_x®af(x) = L = lim_x®ah(x)
dan lim_x®ag(x) = L

Met andere woorden: als f en h dezelfde limiet L hebben in a, dan heeft ook g dezelfde limiet.

Nu, wat betekent lim_x®af(x) = L ?
"e0 $d0: "xÎ[a-d,a+d] |L-f(x)|e

En hetzelfde voor h(x), nu wel met d' :
"e0 $d'0: "xÎ[a-d',a+d'] |L-h(x)|e

De twee samen:
"e0 $d0: "xÎ[a-d,a+d] |L-f(x)|e en |L-h(x)|e

Je moet bewijzen:
"e0 $d0: "xÎ[a-d,a+d] |L-g(x)|e

Dus er rest alleen nog aan te tonen dat,
als |L-f(x)|e en |L-h(x)|e
en f(x)g(x)h(x)
dan |L-g(x)|e

En dat zie je meteen als je nagaat in welk interval f(x) en h(x) liggen: ]L-e,L+e[

Groeten,
Christophe.

Christophe
9-3-2004