WisFaq!

Vazenvraag

Hallo,

Zou iemand me kunnen helpen met het volgende probleem:

Gegeven: Twee niet van elkaar te onderscheiden vazen (V1 en V2). V1 bevat 3 rode, 5 witte en 7 blauwe ballen. V2 bevat 7 rode, 5 witte en 3 blauwe ballen.

a. Iemand trekt uit een willekeurige vaas aselect een bal. De getrokken bal is blauw. Wat is de kans dat deze bal uit V1 getrokken is?

b. De bal uit de vorige vraag is teruggelegd in de vaas waaruit zij getrokken is. Iemand neemt ongezien een bal uit V1 en legt haar in V2. Uit V2 trekt men aselect een bal. Deze bal is rood. Wat is de kans dat de bal die ongezien uit V1 in V2 gelegd is, wit is?

Ik had zelf de volgende oplossingen op het oog:

a. P(bal uit vaas 1 INDIEN bal is blauw) = ^{P(bal uit vaas 1 EN bal is blauw)}/_{P(bal is blauw)} = ^7/30/_10/30 = ⁷/₃₀ * ³⁰/₁₀ = ⁷/₁₀

b. De informatie over dat er nog een bal uit V2 wordt getrokken en dat die rood is, leek me irrelevant. Het leek me dat je dus gewoon de kans moest berekenen op een witte bal in V1, dus:
P(witte bal uit V1) = ⁵/₃₊₅₊₇ = ⁵/₁₅ = ¹/₃
Of met dezelfde formule als in a:

P(witte bal INDIEN vaas V1) = ^{P(witte bal EN vaas V1)}/_{P(Vaas V1)} = ^5/30/_15/30 = ⁵/₃₀ * ³⁰/₁₅ = ¹/₃

Op de een of andere manier heb ik het gevoel dat ik wat vergeten ben... Is dat het geval en zo ja, wat dan?

Alvast bedankt!

Stallion
9-3-2004

Antwoord

Hallo Stallion,

bij a. is het door jou gevonden antwoord prima. Bij b. is het echter wel degelijk relevant dat de later getrokken bal rood is, want het is daarmee iets waarschijnlijker geworden dat je een rode bol had overgeheveld van V1 naar V2. Even een extremer gedachten-voorbeeld om dit te verduidelijken: stel dat V2 in het begin leeg was geweest en je had dit experiment gedaan: eerst trek je een bal uit V1 en stopt die in V2. Als je daarna een rode bal (de enige die er in zit) uit V2 trekt, dan is het duidelijk dat je nooit een witte bal uit V1 kon hebben overgeheveld naar V2, dus P(wit V1$\to$V2 | V2 rood)=0. Deze kennis is een gevolg van het feit dat de kans dat je later een rode bal uit V2 trekt wordt beinvloed door welke bal je daarvoor hebt overgeheveld.

Nu voor dit geval:
P(W V1$\to$V2 | V2 R) = P(W V1$\to$V2 EN V2 R) / P(V2 R),
en hierin is
P(V2 R) = P(R V1$\to$V2 EN V2 R) + P(W V1$\to$V2 EN V2 R) + P(B V1$\to$V2 EN V2 R)
en
P(X V1$\to$V2 EN V2 R) = P(X V1$\to$V2) · P(V2 R | X V1$\to$V2).
Ter verduidelijking van de notatie de laatste in woorden:
de kans dat je een bal met kleur X van V1 naar V2 overbrengt EN daarna een rode bal uit V2 trekt, is de kans om een bal met kleur X over te brengen maal de kans dat je een rode bal uit V2, wetend dat je er een extra met kleur X in hebt zitten.
Nu kunnen we het verder uitrekenen:
P(R V1$\to$V2 EN V2 R) = 3/15 · 8/16 = 1/10
P(W V1$\to$V2 EN V2 R) = 5/15 · 7/16 = 7/48
P(B V1$\to$V2 EN V2 R) = 7/15 · 7/16 = 49/240

dus P(V2 R) = 9/20 en de gevraagde kans is
P(W V1$\to$V2 | V2 R) = 35/108 = 0.324074 < 1/3.
We zien dat inderdaad de kans dat we een witte hadden overgeheveld iets kleiner is geworden nu we weten dat we daarna een rode bal uit V2 trokken, zij het niet zoveel omdat de kans om een rode bal te trekken toch al groot was.
Net zo is de kans dat het een blauwe was maar een beetje kleiner geworden en dat het een rode was een beetje groter.
Als we nou een blauwe bal uit V2 hadden getrokken...
Groeten,

Guido Terra

gt
9-3-2004