WisFaq!

Goniometrische vergelijkingen oplossen

Hallo, ik zou graag willen weten hoe ik de volgende vergelijkingen op moet lossen:

a) sin2x=2sinx
b) sin2x=2cosx
c) sin2x=cos2x
d) sin2x=cos²x
e) cos2x=sin²x

Je hoeft ze natuurlijk niet allemaal voor me op te lossen, maar ik zou graag willen weten hoe ik erachter kom wat je het beste anders kunt schrijven. De regeltjes ken ik wel alleen weet ik niet waar en hoe ik moet beginnen.
Veel liefs Amy

Amy
8-3-2004

Antwoord

Hoe je het ook wendt of keert, je moet altijd zien uit te komen op één van de onderstaande typen:
1) sinA = sinB of
2) cosA = cosB of
3) tanA = tanB

(er zijn uiteraard veel meer mogelijke soorten vergelijkingen die langs andere wegen moeten worden aangepakt, maar die spelen nu geen rol)

Ik doe nu voor de nummers a en d. Blijven er daarna nog problemen bestaan, dan kom je gewoon nog een keer terug.

a) Als het getal 2 aan de rechterkant er niet zou zijn, dan kon je meteen het bovenstaande eerste type toepassen. Maar helaas, die 2 is er nou eenmaal wel, dús moet er ingenieuzer worden gewerkt.
Links kun je veranderen in sin2x = 2sinx.cosx
De opgave verandert dus in 2sinx.cosx = 2sinx.

Het behaalde voordeel is nu dat je links en rechts iets gemeenschappelijks hebt, namelijk 2sinx.

Door wat rechts staat naar links te verplaatsen en meteen te ontbinden krijg je nu: 2sinx(cosx - 1) = 0
Hieruit volgt sinx = 0 resp. cosx = 1.
Dit valt nu in de typen 1 en 2 die ik bovenaan beschreef.
Je hebt namelijk sinx = sin0 (type 1) resp. cosx = cos0 (type 2)
Daarna loopt de rest waarschijnlijk als vanzelf.

d) sin2x = cos²x
Hier is het kwadraat aan de rechterkant het struikelblok.
Maar als je opnieuw voor sin2x schrijft 2sinx.cosx, dan gaat de som over in 2sinx.cosx = cos²x en daarmee heb je opnieuw aan beide zijden iets gemeenschappelijks, namelijk cosx.
Na verplaatsing naar rechts en directe ontbinding krijg je nu cosx(2sinx - cosx) = 0 zodat je nu weet dat cosx = 0 of 2sinx - cosx = 0

Met cosx = 0 had je ook al in som a te maken, dus dat is klaar.
Met 2sinx - cosx = 0 zit dat get5al 2 er nogal storend in. Daar kun je echter op een doeltreffende manier korte metten mee maken.
Schrijf het namelijk maar eens als 2sinx = cosx en deel aan beide zijden door cosx.
Je krijgt 2tanx = 1 ofwel tanx = ¹/₂ (en daarmee heb je type 3, zie boven, te pakken).
De rest zul je nu wel zelf kunnen.

Voor de overige sommetjes een paar korte hints:
b) schrijf alweer sin2x = 2sinx.cosx
c) deel door cos2x en je hebt meteen tan2x = 1(net als bij d)
e) cos2x = 1 -2sin²x gebruiken. Als je vervolgens sinx vervangt door een nieuwe letter t, dan krijg je een simpele tweedegraadsvergelijking.

In het algemeen is het aanboren van de juiste formule in de goniometrie een lastige zaak, die je alleen en vooral door veel te oefenen kunt aanleren. De ellende is echter dat jullie tegenwoordig formulebladen mogen raadplegen die weliswaar alles bevatten waar je wellicht iets aan hebt, maar dat er helaas niet bij staat wanneer je welke formule moet inzetten.

MBL
8-3-2004