WisFaq!

Cosinusregel voor bolcoördinaten afleiden

voor mijn wiskunde PO moet ik laten zien dat uit Pythagoras volgt dat
cos($\angle$AMB) = cosß·cos$\Delta$·cos($\alpha$ - $\gamma$)
Deze formule heet de cosinusregel voor bolcoördinaten.

deze formule moet ik afleiden en bewijzen.
(je zult voor je afleiding gebruik moeten maken van de gewone cosinusregel en ook van de formule cos($\alpha$ - $\gamma$) = cos$\alpha$·cos$\gamma$ + sin$\alpha$·sin$\gamma$)

ik heb al het hele internet afgezocht, ook engelse sites, maar ik begrijp er niks van. kunt u het duidelijk en stap voor stap deze formule afleiden, zonder mij door te verwijzen naar een andere site. want zoals ik al had gezegd, ik ben al bijna alle wiskunde sites geweest en ik kom er nog niet uit!
bedankt voor de moeite.

lingling
7-3-2004

Antwoord

Ik neem even een bol met straal 1.
Je kunt eerst de (x,y,z)-coordinaten van A en B opschrijven:
A=(cos$\beta$cos$\alpha$,cos$\beta$sin$\alpha$,sin$\beta$) en
B=(cos$\Delta$cos$\gamma$,cos$\Delta$sin$\gamma$,sin$\Delta$)

Het kwadraat van de afstand AB (door de bol) kun je nu berekenen met:
|AB|²=(Ax-Bx)²+(Ay-By)²+(Az-Bz)².
Hierin moet je nu de kwadraten wegwerken en de boel vereenvoudigen. (gebruik de regel sin²t+cos²t=1 een aantal malen).

Vervolgens moet je de cosinusregel in driehoek AMB toepassen:
AB²=MB²+MA²-2MA.MBcos($\angle$AMB)
Bedenk dat MB=MA=1, dus dat
AB²=1+1-2cos($\angle$AMB).
Combineer dat met wat je gevonden hebt voor AB².
Het verdere rekenwerk laat ik aan jou over (gebruik ook de gegeven aanwijzingen in de PO.)

hk
10-3-2004