WisFaq!

Regula falsi

Nadeel van de Regula Falsi is dat het een behoorlijk rekenwerk is.
Vandaar een andere methode: iteratie-proces van Newton-Raphson.
We beschouwen de functie f(x) = 0,5x4 – 2.
We berekenen alles weer in 6 decimalen.

4a Stel de raaklijn l(1) op in het punt (2, 6).
Kies Ä x = 0,01
4b Bereken het snijpunt P1 van raaklijn l(1) met de x-as.
4c Zie figuur: bereken Q1.
4d Stel de raaklijn l(2) op in het punt Q1.
4e Enzovoorts. Vul de onderstaande tabel in:

Qn ln+1 : y=ax+b snijpunt Pn+1
n xQ yQ a b xP
0 2,000000 6,000000 16,12040050 -26,24080100 1,62780081
1 1,627801
2
3
4
5

4f Naar welk punt nadert dit iteratie-proces?
4g Gaat deze methode sneller dan de Regula Falsi methode? Licht dit toe.
4h Het punt dat we steeds benaderen wordt nulpunt genoemd. Waarom denk je?

5a Neem nu de functie uit opdracht 1, kies zelf een startpunt en bepaal met de methode van Newton-Raphson het nulpunt. Maak weer een tabel.

5b Het snijpunt is ongeveer x = 2,1194939922971300000000. Bepaal de afwijking in procenten na 1, 3 en 5 stappe n bij beide methoden..

Bos
7-3-2004

Antwoord

Ik zl je de eerste regel van de tabel bij 4e voordoen:
xQ=2
yQ=0.5*(2)^4-2=6
xP=2,01
yP=0,5*(2,01)^4-2=6,161204005
(yP-yQ)/(xP-xQ)=0,161204005/0,01=16,1204005=a
(2,6) en a invullen in y=ax+b levert en b berekenen levert:
b=6-0,161204005*2=-26,240801.
De lijn y=16,1204005x-26,240801 snijden met de x-as levert:
16,1204005x=26,240801, dus
x=26,240801/16,1204005=1,62780081.
Met deze nieuwe waarde voor x begint het spelletje opnieuw,
dus bereken yQ=0.58*xQ^4-2,
xP=xQ+0.01 en dan verder.
Kun je het nu verder alleen?
PS: voor opgave 1 zie: opgave 1

hk
8-3-2004