WisFaq!

Limieten berekenen: hoe begin ik hieraan?

Best wisfaq,

ik begrijp nu toch al heel wat van limieten maar met bij sommige oefeningen heb ik toch nog steeds last, ik weet niet goed hoe ik eraan moet beginnen enz...
We kregen van de leraar hele reeksen met limieten, maar deze snap ik niet, kan u me soms helpen?

(1)
lim(x-$>\infty$)[x²(1-cos(a/x))
Ik probeerde eerst met een toegevoegde tweeterm (1+cos(a/x); zo bekwam ik [x²(1-cos²(a/x))]/[1+cos(a/x)] Maar u zal wel beter weten dan ik dat dit dus niets uithaalt want alleen in de teller al: a/x gaa naar 0 en cos0=1 en 1-1 is nul dus teller=0 maar noemer niet...

(2)

      a.sin(x) - x·sin(a)
lim  ————————————————————
x$\to$a  a.cos(x) - x·cos(a)

Hier weet ik zelfs niet hoe ik eraan zou moeten beginnen?

(3)

              x        
         sin ——— + cos(x)
              2        
lim     ——————————————————————
x$\to$pi  1 + (sin(x))2 + cos(x)

Ik ging als volgt te werk:

                 x             x         
            sin ——— - 2·sin2 ——— + 1    
                 2             2         
  ————————————————————————————————————————
                  x             x             x  
         4·sin4 ———  - 4·sin2———  - 2·sin  ———  + 4
                  2             2             2

maar als je dan de mogelijke functiewaarden neemt dan komt dir niet meer 0/0 uit maar 0/2 ? Ik had nochtans enkel de sin²x vervangen door 1-cos²x en reeds dan liep er iets mis?
Verder heb ik de formule sin²(x/2)= (1-cosx)/2

(4)

                pi    
   lim     (x - ——— ·tan(x))
  x$\to\frac{\pi}{2}$        2

Ik zou niet weten hoe je híeraan moet beginnen?

(5)

        m    m
       x  - a
lim   —————————
x$\to$a    n    n
       x  - a

Idem dito...

(6)

lim ³√(x³-3x²+2)-x
x-$>\infty$
Ik werkte eerst met toegevoegde drieterm dus teller en noemer vermenigvuldigen met ³√(x³-3x²+2)² + x.³√(x³-3x²+2)+x² in de teller krijg ik dan: x³-3x²-x+2 en dan?

Zo, dit was het zo'n beetje om te beginnen ...
Kan iemand me er zo snel mogelijk mee helpen?

Dank bij voorbaat

Anne
6-3-2004

Antwoord

dag Anne,
(1)
Jouw manier helpt inderdaad niet echt.
Hierbij kun je het beste stellen: y = 1/x.
Als x$\to\infty$, dan y$\to$0
Je kunt dan de stelling van de l'Hopital toepassen.
(2)
Ook hier biedt bovengenoemde stelling uitkomst. Bedenk dat de afgeleide van bijvoorbeeld x·sin(a) gelijk is aan sin(a)
(3)
Hier moet de beroemde stelling tweemaal toegepast worden voordat je uiteindelijk de gewenste situatie krijgt.
(4)
Ik vermoed dat hier een haakje bij moet staan:
(x - $\pi$/2)·tan(x)
In dat geval kun je voor tan(x) schrijven: sin(x)/cos(x), en weer de genoemde stelling...
(5)
Je raadt het al: weer die stelling. Bedenk dat de afgeleide van a^m gewoon gelijk is aan 0.
(6)
Hier is het (denk ik) het handigst om te stellen: y = 1/x.
Je krijgt dan weer een breuk met y in de noemer, en in de teller een derdemachtswortel min 1.
Weer de stelling van de l'Hopital levert dan het antwoord.
Succes,

Anneke
7-3-2004