WisFaq!

Fibonacci en de Gulden Snede

Ik dacht dat ik het helemaal door had maar nu ben ik even in de war.

Ik heb voor het Gulden Getal de uitkomsten 0,618.. en -1,618.. gevonden. Het moet een pos. getal zijn, dus 0,618..

Nu las ik hier dat je om uit de getallen van Fibonacci het Gulden Snede getal te krijgen het grootste getal op het kleinste moet delen dus bijv. 34 : 21 = 1,61905 en hier door het grootste getal..? Als je dat doet dus 21 : 34 = 0,61764

Dus dan denk ik, de laatste is goed, maar vervolgens kijk ik op deze site en daar staat dat de Gulden Snede getallen 0,61803.. en 1,61803 zijn.

Hoe zit het nu..? Want de negatieve kun je toch niet gebruiken.

Suzanne
5-3-2004

Antwoord

Een lijnstuk wordt verdeeld volgens de Gulden Snede als de verhouding van de ganse lengte op de lengte van het grootste stuk gelijk is aan de verhouding van het grootste stuk op het kleinste stuk. Dus

^a+b/_a = ^a/_b

Dus kan herleid worden naar a.b + b² = a² of a² - a.b - b² = 0

We nemen nu de verhouding van het grootste stuk a op het kleinste stuk b, dus ^a/_b en stellen dit gelijk aan v.

We delen door b² : ^a2/_b² - ^a/_b - 1 = 0

Dus de verlijking wordt : v² - v - 1 = 0

De oplossing van deze vierkantsverlijking is

v = ^{(1 + √5)}/₂ of v = ^{(1 - √5)}/₂

v = 1.618034.. of v = -0.618034..

De exacte positieve waarde = ^{(1 + √5)}/₂.

Nemen we echter de verhouding van het kleinste stuk op het grootste stuk, dus ^b/_a en stellen dit gelijk aan w.

We delen door a² : 1 - ^b/_a - ^b2/_a²= 0

Dus de verlijking wordt : w² + w - 1 = 0

De oplossing van deze vierkantsverlijking is

w = ^{(-1 + √5)}/₂ of w = ^{(-1 - √5)}/₂

w = 0.618034.. of w = -1.618034..

v is dus de verhouding van het grootste op het kleinste stuk en w is verhouding van het kleinste op het grootste stuk.
(Deze twee waarden hebben precies dezelfde cijfers na de komma.)

LL
5-3-2004