WisFaq!

Convergentie ?

Is de volgende reeks divergent of convergent?
å(1/((ln x)^(ln x)))

ik weet dat het moet bewezen worden door middel van het integraalcriterium...

dank bij voorbaat

Jan.

jan dierckx
3-3-2004

Antwoord

Ik denk dat de reeks convergent is: immers, de termen zijn allemaal positief vanaf x=2, en je kan de term als volgt verhogen (door de noemer te verlagen):
1/((ln x)^(ln x)) 1/((e²)^(ln x))
= 1/(e^(2lnx)) = 1/((e^lnx)²) = 1/x²

En die laatste reeks convergeert.

Die termverhoging gaat wel pas op voor lnx e², dus vanaf x=1618, maar dat doet er niet toe: voor x=2 tot 1618 kan de som nooit oneindig worden.

Hoe je het rechtstreeks met de integraaltest zou moeten doen, is mij onduidelijk. Het lijkt me nogal een lastige integraal. Weliswaar kan je de noemer nog omvormen tot x^ln(lnx), maar of dat makkelijk te integreren is?

Groeten,
Christophe.

PS: de sommatie voor x=3 tot 10000 kwam bij mij uit op 4,4277319027 en voor x=3 tot 1000 kwam uit op 4,4269417611 dus ik denk wel dat dat convergeren juist is.

PS2: als het echt met de integraaltest moet, dan reageer je maar op dit antwoord en dan zal een andere beantwoorder je hopelijk kunnen helpen...

Christophe
4-3-2004