WisFaq!

Meetkundige plaatsen ivm hyperbool

a) Op een ellips E met middelpunt o en f als één van de brandpunten neemt men een veranderlijk punt d. Men noemt T de raaklijn in d.

Gevraagd:
Zoek de meetkundige plaats van de loodrechte projectie van f op T, het snijpunt van df en de loodlijn uit o op T

b) Zelfde vraag voor een hyperbool.

Ik moet dit enkel oplossen voor de hyperbool.

Maar om eerlijk te zijn, ik snap gewoon de oefening niet goed.
- Wat wordt er juist bedoeld met het middelpunt van de hyperbool, is dit gewoon de oorsprong (0,0) ?
- Het snijpunt van df, dat volgens mij toch 2 punten zijn, begrijp ik ook niet.
- Tenslotte, als ik een tekening maak met de gegevens van deze oefening, wordt ik er alles behalve wijzer van.

Daarom vraag ik, of dat iemand deze oefening misschien wat duidelijker kan formuleren en mij een beetje op weg kan helpen.

mvg

Maxim.

Maxim van der Linde
3-3-2004

Antwoord

We nemen de hyperbool met vergelijking ^x2/₁₆ - ^y2/₉ = 1. Het middelpunt is dan inderdaad de oorsprong. De coördinaat van een van de brandpunten is dan F(5,0).
We nemen een punt D op de hyperbool (in het eerste kwadrant) en noemen de coördinaat D(t,³/₄.√(t²-16) met t als parameter.
Met deze gegevens kunnen we de vergelijking van de rechte DF opstellen.
We bepalen de richtingscoëfficiënt (afgeleide!) van de raaklijn r aan de hyperbool in het punt D. Zo kunnen we ook de vergelijking opstellen van de rechte l door de oorsprong, loodrecht op de raaklijn r.
We moeten (opgave) dus de meetkundige plaats bepalen van het snijpunt P van de rechte DF met deze loodlijn l. Dit doen we door de parameter t te elimineren uit de vergelijkingen van deze twee rechten (dit brengt wel heel wat rekenwerk mee).
Je krijgt als oplossing :
y = √(-x² + 10x - 9)
of
x² + y² - 10x + 9 = 0.
Dit is een cirkel met coördinaat(middelpunt) = co(F) = (5,0) en straal = 4 (top van de hyperbool).
In het cabri-plaatje kun je het punt D over de hyperbool verplaatsen. De rechte DF, de raaklijn r en de loodlijn l door de oorsprong verplaatsen zich ook en het snijpunt van P laat een 'spoor' na. Dit is meetkundige plaats (cirkel, slechts gedeeltelijk in de figuur te zien).

Applet werkt niet meer.
Download het bestand.

LL
3-3-2004