WisFaq!

Kwadraatresten

Beste meneer/mevrouw,

Ik heb de volgende vraag.
Zij p een priemgetal groter dan twee.Hoe bewijs je het volgende:
6 is een kwadraatrest van p dan en slechts dan als p congruent is met 1,5,19,23 modulo 24.Het bewijs van links naar rechts is gelukt maar het bewijs van rechts naar links lukt mij niet.

Alvast bedankt, groeten Viky

viky
1-3-2004

Antwoord

Dag Viky,

Als je gelijkheden (2) tot (5) op deze pagina mag gebruiken, is het eenvoudig:

Schrijf (6/p)=(-1/p)(2/p)(-3/p)

Als p $\equiv$ 1 mod 24: (6/p) = 1·1·1
Als p $\equiv$ 5 mod 24: (6/p) = 1·(-1)·(-1)
Als p $\equiv$ 19 mod 24: (6/p) = (-1)·(-1)·1
Als p $\equiv$ 23 mod 24: (6/p) = (-1)·1·(-1)

Telkens is het resultaat 1 en dus is 6 steeds een kwadraatrest modulo die bepaalde p.

Je kan ook (6/p) schrijven als (2/p)(3/p) en dan (3/p) uitwerken met de kwadratische wederkerigheidswet:
(3/p) = (-1)^{[(p-1)/2] · [(3-1)/2]} (p/3)
= 1·1 voor p=1 (mod 24)
= 1·(-1) voor p=5 (mod 24)
= (-1)·1 voor p=19 mod 24
= (-1)·(-1) voor p=23 mod 24

Met hetzelfde resultaat.

Als je een aantal van de gebruikte eigenschappen niet gezien hebt, reageer dan maar op dit antwoord en laat weten wat je wel mag gebruiken.

Groeten,
Christophe.

Christophe
1-3-2004