WisFaq!

Best passend vlak

Steven vraagt op deze site (id = 3879) hoe met de kleinste kwadraten methode een best passend vlak te vinden. In het antwoord wordt verwezen naar enkele websites.
Als ik nu deze formules toepas krijg ik geen lineaire vergelijkingen en dus ook geen resultaten.
Kan iemand mijn denkpiste uitwerken of corrigeren?
Dit is hoe ik denk te moeten starten:
vergelijking van een vlak uxi + vyi + wzi + t = 0
u, v, w en t zijn de onbekenden
best passend vlak door n punten pi(xi, yi, zi)
i = 1,2, ...,n
de fout = de afstand van pi tot het vlak
de fout = (uxi + vyi + wzi + t) / wortel(u² + v² + w²)
de som voor i van 1 tot n van de kwadraten van deze fout moet minimaal zijn.
Hiervoor neem je vier keer de eerste afgeleide van de som van de kwadraten van de fout naar de respectievelijke onbekenden u, v, w en t en stel je dit gelijk aan nul.
Dit zou dan moeten resulteren in 4 vergelijkingen met 4 onbekenden, maar daar kom ik niet toe.
Alvast bedankt voor een reactie.

Hans Verhoeven
28-2-2004

Antwoord

Hallo Hans,

Zoals je al in je vraag opmerkt, zijn er al verwijzingen gegeven naar het fitten van een lineaire functie in twee variabelen (dus een vlak) aan data. Ik maak hieruit op dat je niet tevreden bent met de daar gegeven methode en erop staat om het op de door jou voorgestelde manier uit te werken.

Het verschil met jouw vraag zit in de formulering van de vergelijking voor het vlak en het feit dat daar de fout alleen in verticale richting wordt gemeten, terwijl jij de afstand in 3D tot het vlak als fout neemt. Ook op deze manier kun je de beste fit uitwerken (die zal enigszins afwijken van de antwoorden op de genoemde websites, door het verschil in de manier waarop de fout wordt gemeten), maar daarvoor heb je wel wat meer wiskunde nodig.

Waar het bij jou op fout gaat is het feit dat we jouw vergelijking voor het vlak u xi + v yi + w zi + t = 0 nog door een willekeurig getal kunnen delen. Er kan dus helemaal geen unieke oplossing gevonden, want elk veelvoud van een oplossing beschrijft hetzelfde vlak en is dus ook een oplossing. Je zult dus eerst die onbepaaldheid eruit moeten halen, bijvoorbeeld door te delen door sqrt(u²+v²+w²), zodat u² + v² + w² = 1. Daarna kun je gaan minimaliseren naar u,v,w en t met als EXTRA eis dat u² + v² + w² = 1, minimaliseren op een bol dus. In Nederland krijg je dat pas in het eerste jaar van de wis- of natuurkundestudie. Er zijn enkele methoden mogelijk:

1. schrijf w = +- sqrt(1-u²-v²), en werk alle afgeleiden naar u,v en t uit zoals je beschreven had.
2. schrijf u,v,w in poolcoordinaten met lengte- en breedtegraad f en J, en werk alle afgeleiden naar f, J en t uit zoals je beschreven had.
3. Maak gebruik van Lagrange multipliers. In dit geval volgt daaruit dat de gradient van de foutfunctie loodrecht op de bol (dus in het verlengde van de oplossing) moet staan. Deze methode vergt veruit het minste rekenwerk, maar dan moet je hem natuurlijk wel kennen!

Tot slot nog wat websites waar je misschien wat aan hebt:

1. via Google zoekend op "spherical coordinates" vind je o.a. Spherical Coordinates.
2. via Google zoekend op "Lagrange multipliers" vindt je o.a. lagMultipliers en Lagrange.

Hopend je hiermee van dienst te zijn geweest,

Guido Terra

gt
5-3-2004