WisFaq!

Deelruimten

Onderzoek of de volgende verzamelingen deelruimten zijn van R^4

1) M1={(x1,x2,x3,x4)Î R^4; x1=0}
2) M2={(x1,x2,x3,x4)Î R^4; x1=0 of x2=0}
3) M3={(x1,x2,x3,x4)Î R^4; x1+x2+x4=0}
4) M4={(x1,x2,x3,x4)Î R^4; x1=0 en x2=0}
5) M5={(x1,x2,x3,x4)Î R^4; x1+x2=1}
6) M6={(x1,x2,x3,x4}Î R^4; x1,x2,x3,x4 Î Z}

Kan iemand me hierbij helpen door bv één van deze voorbeelden uit te leggen? (de laatste bijvoorbeeld?)

Dank bij voorbaat...

Sabine DB
28-2-2004

Antwoord

Een ruimte M is een deelruimte van ruimte V als voor iedere m,nÎM en rÎ geldt:

1) m + n Î M
2) r m Î M

Overigens impliceert dit ook een 'derde conditie', namelijk dat de nul-vector in M zit (kies r = 0).

Dit toegepast op opgave 6:
M6 = { (x1,x2,x3,x4)Î⁴; x1,x2,x3,x4Î }
Dus, M6 bestaat uit vectoren met gehele getallen als coordinaten. Nu moeten we beide eigenschappen controleren. Eigenschap 1, de som van 2 vectoren uit de (al dan niet) deelruimte zit er ook weer in. Als we 2 vectoren met gehele getallen als coordinaten optellen, dan levert dit natuurlijk weer een andere vector met gehele getallen op. Dus M6 voldoet aan eigenschap 1.

Eigenschap 2 is een probleem. Kies m = (1,0,0,0), dit zijn allemaal gehele getallen, dus mÎM6, maar als we nu r=0.5 kiezen, dan bestaat r*m niet meer uit gehele getallen. Dus M6 voldoet niet aan eigenschap 2 en is dus *geen* lineaire deelruimte van de ⁴

Gideon
3-3-2004