WisFaq!

Bepaalde integraal van de sin⁴(x)

Ik kom er echt niet uit! Wie kan er helpen aub?
De integraal van sin⁴x.dx ??? Met de methodes (o.a. partiële integratie) die ik al heb geprobeerd strand ik steeds op het volgende: de integraal van x.sinx.cosx.dx - integraal van sin²x.cos²x.dx
Welke techniek moet je hier dan wél toepassen? Dank voor de hulp!

JB
28-2-2004

Antwoord

sin⁴(x)=sin²(x)(1-cos²(x))=sin²(x)-sin²(x)cos²(x)=
sin²(x)-(¹/₂sin(2x))²=sin²(x)-¹/₄sin²(2x).

Omdat cos(2x)=1-2sin²(x) geldt: sin²(x)=¹/₂-¹/₂cos(2x).

Dus sin²(x)-¹/₄sin²(2x)=¹/₂-¹/₂cos(2x)-¹/₄(¹/₂-¹/₂cos(4x))=
¹/₂-¹/₂cos(2x)-¹/₈+¹/₈cos(4x)=
³/₈-¹/₂cos(2x)+¹/₈cos(4x).
Nu is het primitiveren geen probleem meer:
³/₈x-¹/₄sin(2x)+¹/₃₂sin(4x)

hk
28-2-2004