WisFaq!

Re: Van cirkel naar veelhoeken

Het is inderdaad zo dat de meeste regelmatige veelhoeken niet kunnen geconstrueerd worden. Dat kan voor de getallen van de vorm N=2^k p₁ p₂ ... p_n waarbij k een natuurlijk getal en de p_i verschillende Fermat priemgetallen zijn (stelling van Gauss uit 1801). Een Fermat priegetal is van de vorm F_n= 2²ⁿ+1. Dus F₀=3, F₁=5,... Nu is het enkel maar geweten dat F_n een priemgetal is voor n4. Het blijft echter een open probleem of dat de enige priemgetallen zijn in de F_n (het is wel bv al geweten dat voor 5n32 de F_n niet priem zijn).

Conclusie: een 7-hoek, 9-hoek,... kan je zeker niet construeren (let wel er zijn benaderingen bekend). Een 3-, 4-, 5-, 6-hoek wel (dit was al bekend aan de Oude Grieken). Gauss was de eerste die (al voor zijn 19de!) een nieuwe constructie vond, nl die van een 17-hoek. Wat meer informatie vind je bv op en.wikipedia.org/wiki/Fermat_prime.

Adriaan Herremans
27-2-2004

Antwoord

Met dank aan Adriaan voor de wiskundige onderbouwing van het onmogelijke! Dat scheelt weer heel wat gepuzzel.

Als je geïnteresseerd bent om op een moderne manier met construkties bezig te zijn kan ik je Cabri-Géomètre aanraden.

Nog een voorbeeld van een vijfhoek:
zie Bewijs voor de constructie van een regelmatige vijfhoek

Zie Fermat number - Wikipedia, the free encyclopedia [http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_prime]

Emma
28-2-2004