WisFaq!

Limieten berekenen van goniometrische functies

Hoe pak je zoiets aan:

lim x0 [(sin²x.cos3x)/(tan²2x)]
en

lim x0 [(sin³2x)/(tanx.tan²3x)]

Ik weet dat lim sinx/x=1 maar moeten bij iets ingewikkelde vormen zoals hierboven: moeten de onbekenden (x) 'gelijkgeschakeld worden'(allemaal naar x ipv 2x,3x,...)?

Alvast bedankt...

Anne
26-2-2004

Antwoord

Dag Anne

Gelukkig moet je niet alle hoeken herleiden tot x.

Je moet inderdaad gebruik maken van de stelling lim_x-0 sinx/x = 1.
Uit deze stelling volgt ook dat lim_x-0 tanx/x = 1 want de tan x = ^{sin x}/_{cos x} en de lim_x-0 cosx = 1.

Als je nu in oef.1 de teller en de noemer deelt door x² kun je in de teller sin²x/x² =(sinx/x)² krijgen. In de noemer kun je tan²2x/(2x)² = (tan 2x/2x)² krijgen als je de teller en de noemer (van de noemer dus) vermenigvuldigd met 4.

Door nu de twee stellingen toe te passen krijg je twee limieten die 1 zijn. Met de cos 3x heb je natuurlijk geen probleem. Er blijft enkel nog een factor 4 over in de teller van de noemer.
Het eindresultaat is dus ¹/₄

In de tweede oefening moet je beginnen met de teller en de noemer te delen door x³.
Plaats die x-en in de noemers nu bij de gepaste tellers en tracht zo weer de twee stellingen terug te vinden.
Je hebt ook weer enkele correctiefactoren nodig om zo weer drie limieten te krijgen die 1 zijn. Er blijft als resultaat dan ⁸/₉ over.

Zet al deze breuken van breuken maar eens netjes op papier en het zal dan wel allemaal duidelijk worden.

LL
26-2-2004