WisFaq!

Cirkeleigenschappen

In een cirkel met middelpunt M zijn AB en CD twee onderlinge loodrechte middellijen. Een lijn door A Snijdt CD in P en verder de cirkel in Q. De raaklijn in Q aan de cirkel en de lijn door P evenwijdig aan AB snijden elkaar in punt S.

Bewijs dat |SB| = |SQ|

Met het tekenen van hulplijnen MQ en BS begint het verdacht veel op congruentie te lijken maar dat bewijs krijg ik niet helemaal rond (hoek MBS 90?)

Wie kan helpen ?

Groeten Thijs

Thijs van t Hul
26-2-2004

Antwoord

Ik heb geen idee hoe ik hier de hoedjes op de hoeken moet tekenen, gelieve die erbij te denken.



In DAMQ geldt:
|AM| = |QM| (stralen van dezelfde cirkel)
dus Q2 = A1 (basishoeken in een gelijkbenige D)

Daarenboven geldt:
Q1 = 90° - Q2 (de raaklijn QS staat loodrecht op de straal QM)
Q4 = Q1 (overstaande hoeken)
We vinden uiteindelijk: Q4 = 90° - A1(1)

In D AMP:
A1 + M + P1 = 180° (som van de hoeken van een D)
M = 90° (AB staat loodrecht op CD (geg))
We vinden: P1 = 90° - A1(2)

Uit (1) en (2):
Q4 = P1
en dus ook : |NQ| = |NP|(3) (In D NQP liggen tegenover gelijke hoeken, gelijke zijden. )

Voor D MQN en D NPS geldt:
Q3 = P2 (QS loodrecht op MQ (zie boven) en PS loodrecht op MP (uit gegeven))
|NQ| = |NP| zie (3)
N1 = N2 overstaande hoeken
Dus: D MQN @ D NPS
Hieruit volgt: |MQ| = |PS|(4)

Uit (4) en het gegeven volgt dat BMPS een rechthoekig, gelijkbenig trapezium is.
BMPS is dus een rechthoek.
We kunnen besluiten dat SB loodrecht op BM staat.

Nu je weet dat de hoek B recht is, kan je het bewijs verderzetten met je congruentie.

Ik hoop dat dit begrijpbaar is...
mvg,
SB

Bart
26-2-2004