WisFaq!

Bewijs van een driehoek

hallo!
Ik kreeg van mijn leraar een taak met als doel te bewijzen dat: de driekhoek gevormd door de 3 middenparallellen van een rechthoekige driekhoek ook een driehoekige driehoek is.

Alvast bedankt.

Véronique
24-2-2004

Antwoord

Zonder de algemeenheid te schaden kan je de volgende coördinatisering doorvoeren (de punten (a,0) en (0,b) kan je met de muis eventueel verplaatsen) a en b willekeurig verschillend van 0:

Applet werkt niet meer.
Download het bestand.

De opstaande rechthoekszijde heeft als midden (0,b/2), de liggende rechthoekszijde heeft als midden (a/2,0). Het midden van de hypothenusa vind je door de coördinaten van de hoekpunten op te tellen en te delen door twee:
((a,0)+(0,b))/2= (a/2,b/2)
De middens (en dus de hoekpunten van de middenparallel-driehoek) zijn dus: (a/2,0), (0,b/2) en (a/2,b/2).
De middenparallel [(a/2,0),(a/2,b/2)] wordt gedragen door de rechte met vergelijking x=a/2.
De middenparallel [(b/2,0),(a/2,b/2)] wordt gedragen door de rechte met vergelijking y=b/2.
Deze twee rechten staan loodrecht op elkaar aangezien de assen van het assenkruis loodrecht op elkaar staan. Dit bewijst het gestelde.

qed.

PS: Als je de eigenschap mag gebruiken dat middenparallellen evenwijdig zijn met de zijde waar ze niet aan grenzen, dan is bovenstaand bewijs niet nodig en kan je onmiddellijk steunen op de orthogonaliteit van de rechthoekszijden, en de evenwijdigheid van de middenparallellen met die rechthoekszijden.

Koen Mahieu

km
24-2-2004