WisFaq!

1 vergelijking, 2 variabelen, antwoord moet heel getal zijn

Ik heb 2 vergelijkingen , nmlk
f(a)=a² en
g(b)=b²+33

Deze moeten gelijk zijn, dus a²=b²+33. Tot zover is het gemakkelijk om waarden te proberen, maar het antwoord (zowel b en a) moet een geheel getal zijn.

na proberen:

33+1 nee
33+4 nee
33+9 nee
33+16=49 ja, dus a=7 en b=4.

of een andere manier is uitgaan van de 2e vergelijking:

36-3=33, nee
49-16=33, ja, dus a=7 en b=4

Indien de formule bij grotere getallen wordt gebruikt (i.p.v. 33, 303), dan wordt het al een stuk lastiger om een antwoord te vinden als je alle (hele) waarden moet proberen. vandaar mijn vraag.

Is er een manier (formule/methode) waarmee meteen 7 en 4 worden gevonden, of (indien dat niet mogelijk is) een manier waarmee het aantal keren proberen kan worden verkleind?

C.P.
24-2-2004

Antwoord

Je kent misschien nog de merkwaardige producten.
Een daarvan is:
a² - b² = (a+b)·(a-b)
Je kunt de vergelijking
a² = b² + 33
herschrijven tot:
a² - b² = 33
dus
(a+b)·(a-b) = 33
Nu hoef je alleen nog maar de delers van 33 te proberen.
Ik beperk me tot de positieve delers.
(NB: De negatieve delers leveren ook oplossingen, maar ik weet niet of dat de bedoeling is)
Deze zijn: 1, 3, 11 en 33.
Dus de oplossingen zijn:
a+b = 11 en a-b = 3, dus a=7 en b=4 (die had je al)
of
a+b = 33 en a-b = 1, dus a=17 en b=16.
Deze methode kun je ook voor grotere getallen gebruiken.
Elke ontbinding van dat getal in twee even of twee oneven getallen levert een oplossing voor je probleem.
groet,

Anneke
24-2-2004