WisFaq!

Aantal mensen met dezelfde pincode

Ik heb een probleem met de volgende opdracht, over pincodes in Nederland:

De vraag luidt: Hoeveel mensen moet je bij elkaar hebben opdat er met kans ¹/₂ (een half dus) twee bij zijn met dezelfde pincode?

Ik weet al dat iedere pincode 2162 gebruikers heeft, dit stond in de opdracht. Deze mensen hebben dus dezelfde pincode.
Ik weet dus ook dat wanneer ik 2162 + 1 mensen bij elkaar zet, er tenminste 2 moeten zijn met dezelfde pincode.
De kans is dan 1 (toch?).
Ook weet ik dat er (2163 nCr 2 =) 2.338.203 combinaties zijn om deze 2 mensen te vinden.

Maar dan weet ik niet meer hoe ik die kans een half moet uitrekenen :(.

Wie kan me hierbij (op weg) helpen? Alvast bedankt!

Koen

Koen Vermeulen
23-2-2004

Antwoord

Dat de kans bij 2163 mensen 1 zou zijn is niet juist.
Als ik uitga van 10000 pincodes dan is pas bij 10001 of meer mensen de kans dat er 2 met een gelijke pincode bij zijn gelijk aan 1.
Dat gegeven van 2162 gebruikers heeft voor deze opdracht geen enkele betekenis.

Je kunt het probleem als volgt bekijken:
(ik ga uit van 10000 pincodes, is dit aantal anders dan kun je de berekening eventueel aanpassen)
Er zijn 2 mensen met dezelfde pincode in de groep als niet alle mensen van de groep een verschillende pincode hebben. Je moet dus als volgt te werk gaan:
P(tenmiste 2 met dezelfde pincode)=1-P(alle pincodes verschillend)
Laten we nu eens rustig beginnen:
Noem n het aantal mensen in de groep.
Als n=1 dan P=1-¹⁰⁰⁰⁰/₁₀₀₀₀=1-1=0
Als n=2 dan P=1-¹⁰⁰⁰⁰/₁₀₀₀₀*⁹⁹⁹⁹/₁₀₀₀₀=1-1*0.9999=0.0001
Als n=3 dan P=1-1*0.9999*0.9998=1-0.999700020.0003
Als n=4 dan P=1-1*0.9999*0.9998*0.99970.0006
Je zou nu net zo lang door moeten rekenen totdat de uitkomst groter is dan 0.5.
Dit zou je bijvoorbeeld handig in Excel kunnen doen, of
je zou (als je daar een beetje mee vertrouwd bent) ook een programmaatje voor je rekenmachine kunnen schrijven.

P.S.
Een vergelijkbare vraag is de volgende:
Hoe groot moet een groep mensen zijn wil de kans dat er twee op dezelfde dag jarig zijn groter zijn dan een half.
Eigenlijk is dat precies hetzelfde probleem.
Daarover zijn al veel vragen op Wisfaq beantwoord.
Een van deze vragen is:

• 2 mensen op dezelfde dag jarig.

Meer van deze vragen kun je vinden met:

• zoeken op verjaardag

hk
24-2-2004