WisFaq!

Modulus |z| = r

Als ik het volgende complexe getal heb:
z = x + yi
Dan geldt:
|z| = |x + yi|

Maar als ik een poolvoorstelling neem, kan ik zeggen:
|z| = Ö(x² + z²)

Geldt dan ook:
|x + yi| = Ö(x² + z²)

Ik kan me dat niet voorstellen en ook met geen enkel voorbeeld kan ik dit aantonen.
Ik vind het eerlijk gezegd ook raar dat bij de poolvoorstelling i totaal niet mee wordt gerekend.
Het gaat om de waarde van y, en i schijnt niet mee te tellen. Komt dit omdat i altijd hetzelfde is?

Kan iemand me hier duidelijkheid over geven?

Bart Kleyngeld
22-2-2004

Antwoord

Een complex getal kan voorgesteld worden als z=a+ib
De modulus is de euclidische afstand van het punt (a,b) tot de oorsprong (bij de voorstelling in het euclidisch) vlak. Dus Ö(a²+b²)

Als we nu echter dat punt voorstellen door de hoek die verbindingslijn van het punt (a,b) met (0,0) maakt met de poolas (de X-as), en de lengte van die verbindingslijn (die dus ineens de modulus is) dan geeft dit:

a= r cos(f)
b= r sin(f)

=
z=r cos(f) + i r sin(f)
=r(cos(f)+i sin(f))
=r e^if

Met r=|z|
en f=Arg(z)

Let wel. Als je werkelijk poolcoördinaten gebruikt ligt Arg(z) tussen 0 en 2p
Het is echter om bepaalde redenen (het definiëren van de complexe arcustangens bijvoorbeeld) handiger om het argument f tussen -p en p te kiezen.

Koen

km
22-2-2004