WisFaq!

Variantie van een schatter

Als laatste opdracht (de opdracht voor wie het allemaal begrepen heeft, zeg maar) loop ik vast. Het gaat hier om de volgende opdracht:

Bij een steekproef, zonder terugleggen, van 7 trekkingen, kunnen we in plaats van het gemiddelde, ook de middeste waarde X(4) nemen.
Dit geeft een nieuwe schatter: Q = 2·X(4) - 1 (voor het maximum dus).
Bepaal met voorgaande kennis de variantie van Q voor het geval N=45 en n=7 en vergelijk die met de varianties van R, S en T.

De schatters R, S en T moesten we in de opdrachten ervoor maken, maar die vergelijkingen kreeg je gegeven:

R = 2·(gemiddelde uit de 7 trekkingen) - 1
S = X(7) + X(1) - 1
T = 8/7 · X(7) - 1

de varianties van deze vergelijkingen zijn:

Var(R) = ((N+1)·(N-n))/(3n)
Var(S) = (2·(N+1)·(N-n))/((n+1)·(n+2))
Var(T) = ((N+1)·(N-n))/(n·(n+2))

Met deze vergelijkingen moesten we de standaarddeviatie uitrekenen van de Schatters R, S en T, waarbij N=45 en n=7:

SD(R)=Ö((45+1)·(45-7))/(3·7)[/WORTEL]=9.12
SD(S)=Ö(2·(45+1)·(45-7))/((7+1)·(7+2))[/WORTEL]=6.97
SD(T)=Ö((45+1)·(45-7))/(7·(7+2))[/WORTEL]=5.27

Het gaat nu dus om de Variantie, maar dan van de schatter Q = 2 · X(4) - 1

Deze vergelijking lijkt erg op de schatter R = 2·(gemiddelde uit de 7 trekkingen) - 1. Het gemiddelde is alleen vervangen door de middelste waarneming.

Achterin staat nog een appendix waarin de schrijvers onderbouwen hoe ze aan de varianties van de andere schatters komen. Zij registreren de gaten tussen de waarnemingen en berekenen daar de variantie en de coverantie(?) van.

Ik hoop dat ik genoeg informatie heb gegeven. Iemand enig idee?

Ide Braakman, VWO6
19-2-2004

Antwoord

Ten eerste is het niet erg duidelijk wat je bedoelt. Zo te zien gaat het bij de N om de populatiegrootte (het aantal lottoballetjes) en kleine n is de steekproefgrootte (7). R,S,T zijn schatters voor deze N. Uiteraard moet je dat wel even vermelden.
Nu maakt het wat betreft moeilijkheid wat uit of je op basis van het gemiddelde of op basis van de mediaan schat. Een schatting op basis van de mediaan is een stukje lastiger. Wellicht vind je aanwijzigen voor het maken van de variantie van de mediaan in de appendix. Normaal is er wel een verband tussen de variantie van de mediaan en van het gemiddelde aan te geven maar ik betwijfel of dat in jouw geval de bedoeling is vanwege die eindige populatie (N=45).
Overigens zou iemand anders de vraag zoals jij hem stelt (met die gaten en zo) nauwelijks kunnen snappen zonder het boekje erbij te hebben. Zelf heb ik ooit als student assistent voor Smit gewerkt en weet ik dus waar het een beetje over moet gaan. Het boekje lijkt me trouwens voor collega's een aanrader. Helaas was het hier niet op voorraad zodat ik je op dit moment niet verder kan helpen.

Variantie van de mediaan (algemeen)

Met vriendelijke groet

JaDeX

jadex
23-2-2004