WisFaq!

Stelling van Fermat, bewijs voor n=4

Ik heb op internet (http://members.home.nl/juansi/wiskundeproblemen/methode.html) een bewijs gevonden voor de laatste Stelling van Fermat voor n=4. Bij de uitleg van het bewijs wordt verwezen naar de methode van oneindige afname, maar ik begrijp deze methode na deze korte uitleg nog niet. Kunnen jullie mij helpen?

Sanne
17-2-2004

Antwoord

De methode van de 'descente infinie' komt neer op het volgende.
Fermat gaat er vanuit dat er voor de vergelijking x⁴ + y⁴ = z⁴ wél oplossingen zijn. Er bestaan dan dus 3 getallen x, y en z die aan de gegeven vergelijking voldoen. Let wel: bedoeld worden geheeltallige, positieve oplossingen.
Hij gaat vervolgens op een zeer slimme manier redeneren en laat dan zien dat er dan ook een drietal oplossingen moet bestaan die kleiner zijn dan het eerst gevonden drietal.
Maar, als je dan uitgaat van dit kleinere drietal, en je herhaalt dezelfde redenering, dan zou je dus weer een nóg kleiner drietal vinden dat oplossing is. Door het daarna weer te herhalen zou er opnieuw enz.....
Maar, omdat je je beperkt tot positieve gehele getallen, moet dat proces een keertje stoppen (want bij 0 of desnoods 1 heb je de grens bereikt).
Op dat moment zit er een kink in de kabel! Bij een drietal kun je altijd een kleiner drietal vinden, en ineens houdt dat proces op! Vanwege het woordje 'altijd' in de vorige zin zou dat echter niet kunnen gebeuren.
Er kan maar 1 conclusie worden getrokken: er is geen 'startdrietal' x, y z mogelijk

MBL
17-2-2004