WisFaq!

Formule van Cardano oplossen

Beste redactie
Heel erg bedankt voor jullie antwoord, maar wij moeten een praktische opdracht maken over de formule van Cardano. Eerst heb ik deze formule helemaal uitgezocht en bekeken hoe hij aan g²+qg+p:3a komt. Dit heb ik allemaal gesnapt. Maar toen moest je de bovenstaande formule met de gormule van cardano uitwerken. Ik dacht telkens dat het me eindelijk zou lukken om goed uit te komen. Maar het lukt elke keer net niet. Dan ging ik weer kijken of ik soms wat fout heb gedaan, en dan kwam ik wel wat tegen en dan dacht ik: Nu heb ik het, maar dan kwam ik weern iet uit. Dit heeft zich denk ik wel zo' 6 keer herhaald. Nu kan ik geen fout meer ontdekken, maar kom nog steeds niet goed uit. Zouden jullie me met die formule van Cardano willen helpen.
Alsvast heel erg bedankt.
Groetjes Sandra

Sandra van Leeuwen
11-2-2004

Antwoord

Dag Sandra,

Voor de benaming van de variabelen in deze methode gebruik ik de notatie en het werkschema zoals in onderstaande link. Daarin staat trouwens het hele schema nog eens overzichtelijk uitgewerkt.

De formule van Cardano begint met de substitutie
x = y - b/(3a)
Hier dus: x = y + 2

Als je echter dit toepast op de opgave, kom ik uit op y³-y=0
Hieruit kan je y afzonderen, en blijkt dat y(y²-1)=0
Dus y=0,1,-1
Dus x=1,2,3

Als je nu echt de verdere stappen wil zetten uit de formule van Cardano (wat knap koppig is, maar goed) dan geeft de substitutie y=u-v, uv=p/3=-¹/₃ het volgende:

u³-v³=0

u³ + 1/(27u³) = 0
g + 1/(27g) = 0
g² = -1/27
g = ±i/(3√3)

Terugrekenen: u = -±i/√3
v = p/(3u) = -±i/√3
y=u-v=0
x=2

(Eigenlijk moet je de drie verschillende derdemachtswortels uit g bepalen, maar dat is eigenlijk niet nodig: eens je een oplossing voor x hebt, kan je die steeds uitdelen en blijft er slechts een tweedegraadsvergelijking over)

Dus om eerlijk te zijn: met deze opgave zit je al zo snel met de juiste oplossing, dat het geen zin heeft de rest van de formule erop toe te passen. Met name de substitutie met u en v, en alles wat er na komt, is nutteloos en kan alleen tot fouten leiden.

Groeten,
Christophe.

Zie link [http://home.uwnet.nl/~stikpet/PHStikker/CardanoOplossing.pdf]

Christophe
11-2-2004