WisFaq!

Produkt en som van eigenwaarden

Hoi!

Ik snap zelfs de stelling niet en ik moet hem kunnen bewijzen, willen jullie me aub helpen?

A is een nxn matrix met n eigenwaarden l₁, ..., l_n dan is:
det(A)=l₁. ... .l_n en sp(A)= l₁+...+l_n

(sp(A)= spoor van matrix A = som van de diagonaalelementen)

Alvast bedankt!

Tamara

Tamara
11-2-2004

Antwoord

Hoi,

Met de singuliere waardeontbinding van A kan je schrijven dat A=U.D.V^t,
waarbij D=diag(l_i) en det(U)=det(V)=1, zodat det(A)=det(D)=l₁. .. .l_n.

Wat het spoor (trace) betreft, vond ik bij Wolfram enkel dat sp(A')=sp(A) als A'=B.A.B^-1 (zie site voor bewijs). Dit doet vermoeden dat je bij je opgave mag/moet veronderstellen dat er n lineair onafhankelijke eigenvectoren zijn. Je kan het stuk over de determinant dan eenvoudiger met de Eigenwaardenontbinding. Via deze link vind je ook waarom A.P=P.D waarbij P de matrix is die ontstaat door de n eigenvectoren samen te plakken. Omdat de eigenvectoren LO zijn, bestaat P^-1, zodat A=P.D.P^-1 en dus sp(A)=sp(D).

Groetjes,
Johan

andros
11-2-2004