WisFaq!

Afgeleide en bereik

Goedenmiddag,

Ik heb twee vragen betreffende over het bereik van afgeleiden. Ik heb hier n.l.
nogal problemen mee.

1. De functie f(x) = tan x kent twee afgeleiden te weten f'(x) = 1/(cos²x) en f'(x) = 1 + tan²x. Hoe kan ik uit beide afgeleiden het bereik aflezen ?
2. De afgeleide van de functie f(x) = arccos ¹/₄x. De afgeleide is volgens mij
f'(x) = - 1/ (4 √(16 - x²))
Wat is nu het bereik van deze afgeleide ?

Groet,
Dirk

Dirk
10-2-2004

Antwoord

dag Dirk,

Een algemene opmerking over bereik (los van het feit dat het hier om afgeleide functies gaat):
Het bereik van een functie lees je af langs de y-as, dus je kijkt welke y-waarden er allemaal optreden.
Eerst die afgeleiden van de tangensfunctie.
Op het eerste gezicht lijken die heel verschillend, maar het blijkt twee keer dezelfde functie te zijn. Ik zou dus niet spreken van twee afgeleiden. Je zou kunnen zeggen: twee representaties (weergaven).
Aan beide voorschriften kun je zien dat er alleen positieve waarden te verwachten zijn.
Aan de tweede (1 + tan²x) kun je het eenvoudigst zien dat alle waarden $\geq$ 1 optreden, want tan(x) zelf neemt alle waarden aan, dus tan²x neemt alle waarden aan $\geq$0, dus ...
Aan het eerste voorschrift kun je het ook wel zien, maar dat is iets ingewikkelder.
Je weet dat cos(x) alle waarden tussen -1 en 1 aanneemt (inclusief de grenzen), dus cos²x neemt alle waarden aan tussen 0 en 1 (inclusief)
Dus 1/cos²x neemt alle waarden aan van 1 tot $\infty$, inclusief 1.
Het bereik is dus [1, $\to$>
Dan de tweede vraag.
Je hebt de afgeleide niet helemaal goed (kettingregel vergeten?): die 4 in de noemer moet weg.

Je ziet dat alle afgeleide waarden negatief zijn.
Het zal duidelijk zijn dat de afgeleide het grootst is, als x=0 (want dan deel je de negatieve teller door de grootst mogelijke waarde, namelijk √16). De waarde is dan -¹/₄
Verder kun je x willekeurig dicht naar 4 laten stijgen (of naar -4 laten dalen), waardoor de noemer steeds kleiner wordt, en dus de breuk steeds verder naar -$\infty$ gaat
Het bereik is dus $<$¬, -¹/₄]
groet,

Anneke
10-2-2004